RISOLUZIONE DEI SISTEMI LINEARI CON LA REGOLA DI CRAMER

I sistemi lineari di n equazioni in n incognite, sono formati da equazioni di primo grado, in cui le incognite hanno tutte esponente uguale ad uno e il numero delle equazioni e' uguale al numero delle incognite

sistema lineare di due equazioni in due incognite

sistema lineare di tre equazioni in tre incognite

sistema lineare di quattro equazioni in quattro incognite

 

Un sistema lineare di n equazioni in n incognite, puo' essere:

determinato :

Se esiste una sola n-pla di soluzioni

indeterminato:

Se ammettono infinite n-ple di soluzioni

impossibile:

Se non esiste alcuna n-pla di numeri reali che sia soluzione del sistema

Esempi:

il seguente sistema e' determinato ( esiste una sola coppia di numeri reali che soddisfa il sistema)

ha come unica soluzione: x=2 ed y=2 (infatti dalla prima equazione si ricava che le due soluzioni devono essere uguali, dalla seconda che la loro somma deve essere 4)

 Il seguente sistema e' indeterminato poiche' esistono infinite coppie di numeri reali che verificano il sistema:

ha come soluzione la coppia: x=2 ed y=2 ; x=1 ed y=1 ; x=-2,5 ed y = -2,5 ecc. (infatti dalla prima equazione si ricava che le due soluzioni devono essere uguali, ma se la x e la y sono uguali allora soddisfano anche la seconda equazione)

NOTA BENE : se un sistema e' indeterminato non significa che qualunque coppia di numeri reali sia soluzione ( ad esempio la coppia x=2 ed y=3 non e' una soluzione) ma solo che esistono INFINITE coppie di numeri reali che sono soluzione.

 Il seguente sistema e' impossibile, non esiste alcuna coppia di numeri reali che e' soluzione del sistema:

infatti, la prima equazione dice che i valori da assegnare alla x ed alla y devono essere tali da avere per somma zero , mentre la seconda equazione dice che tali valori devono avere per somma uno; poiche' la somma di due numeri reali e' unica, non esiste alcuna coppia di numeri reali che verifica il sistema.

 

Vogliamo risolvere i sistemi lineari di n equazioni in n incognite con la regola di Cramer, valida per qualunque numero di incognite n , ma particolarmente vantaggiosa nella risoluzione dei sistemi di due equazioni in due incognite e in quelli di tre equazioni in tre incognite.

Per applicare questo metodo a un sistema lineare di n equazioni in n incognite e' necessario calcolare il determinante di matrici quadrate di ordine n ma quando n e' piu' grande di tre diventa laborioso.

Quando n e' maggiore a tre si puo' determinare un sottosistema a tre equazioni in tre incognite da risolvere con Cramer, oppure ricorrere ad altri metodi.

NELL' INTRODURRE LA REGOLA DI CRAMER FAREMO RIFERIMENTO A UN SISTEMA LINEARE DI TRE EQUAZIONI IN TRE INCOGNITE, risultera' comunque evidente come tale regola si possa applicare negli altri casi.

 Il sistema deve essere ordinato in modo da avere i termini noti di ogni equazione a destra del segno di uguale e le incognite con lo stesso nome incolonnate

x,y,z sono le incognite del sistema

ai,j sono i coefficienti del sistema

bi sono i termini noti del sistema

 si scrive la matrice A dei coefficienti e si calcola il suo determinante |A| che indicheremo con D

 si calcola il determinante Dx della matrice ottenuta dalla precedente sostituendo alla prima colonna, i termini noti del sistema

 si calcola il determinante Dy della matrice ottenuta dalla precedente sostituendo alla seconda colonna, i termini noti del sistema

 si calcola il determinante Dz della matrice ottenuta dalla precedente sostituendo alla terza colonna, i termini noti del sistema

 SE D E' NON NULLO ALLORA IL SISTEMA E' DETERMINATO e il valore delle incognite e' dato dai seguenti rapporti tra i determinanti calcolati in precedenza:

x = Dx / D

y= Dy / D

z= Dz / D

NOTA BENE: se D = 0 il sistema e' indeterminato o impossibile

 

ESEMPIO

Risolvere il seguente sistema lineare di tre equazioni in tre incognite con la regola di Cramer

Si calcolano i tre determinanti

Si determinano i valori delle tre incognite:

Esempio

Risolvere il seguente sistema di due equazioni in due incognite con la regola di Cramer

Si calcolano i seguenti determinanti:

 

si determinano i valori delle due incognite: