Metodo di Eulero

In alcune applicazioni pratiche, si puo' essere ricondotti a ricercare l'integrale particolare di una equazione differenziale la cui soluzione con i procedimenti dell'analisi classica sia complessa o addirittura impossibile.

L'analisi numerica dispone di numerosi metodi che permettono di risolvere questo problema, il piu' semplice e' il metodo di Eulero che puo' essere applicato alle equazioni differenziali del primo ordine scritte in forma normale.

Il metodo di Eulero da risultati approssimati, cosi' come ogni metodo numerico, e' di semplice comprensione ed e' facilmente programmabile, pero' la sua convergenza e' molto lenta ed e' spesso necessario fare molti calcoli per ottenere una accettabile approssimazione del valore cercato.

Per poter comprendere questo metodo e' bene richiamare poche nozioni teoriche sulle equazioni differenziali di primo grado e sull'equazione di una retta:

 

Il metodo di Eulero vuole sostituire alla curva integrale reale che non si puo' determinare, una sua approssimazione formata da segmenti di rette tangenti a tale curva.

 

IL TESTO DEL PROBLEMA

Data l’equazione y’ = f (x,y) con la condizione iniziale y(x0)= y0, determinare il valore che assume la curva integrale nel punto x = c.

IL METODO: la teoria

Si considera l’intervallo [x0 ; c] e si divide in n parti uguali, ciascuna avra' ampiezza

In ogni intervallo [xi-1;xi] si sostituisce all'integrale particolare cercato, il segmento di retta tangente nel punto (xi-1 ;yi-1 ) alla curva integrale che passa in quel punto

 

NOTA:La curva in blu e’ l’integrale particolare che risolve il problema, la spezzata in rosso e’ la sua approssimazione con il metodo di Eulero

 
Si considera il primo intervallino [x0; x1]

y= f (x0;y0) (x-x0)+y0

y1 = f (x0;y0)h+y0

Si considera il secondo intervallino [x1; x2]:

si ripetono le considerazioni appena viste e si determina y2 = f (x1;y1)h+y1

....................................
Si considera [xn-1; xn]

Iterando il procedimento descritto, si avra’

yn = f(xn-1;yn-1)h + yn-1

 

ESEMPIO

RISOLVERE CON EULERO:

Data y’ = x2 - 3x +1 con la condizione iniziale y(0) = 0 stimare il valore della curva integrale ne punto x=2, con n =10.

I PRIMI PASSAGGI

Prima iterazione: x0 = 0 ; y0 = 0 m0=f(0;0)=1

y1 = 1(0,2)+0 = 0,2

Seconda iterazione:x1 = 0,2 ; y1 = 0,2 m1=f(0,2;0,2)=0,44

y2 = 0,44(0,2)+0,2 = 0,288

Si ottiene la tabella:

Con il metodo di Eulero, n=10, si ottiene come valore dell'integrale particolare nel punto x=2 :
-1,12

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