SENO COSENO E TANGENTE DI ANGOLI ACUTI

Un angolo e' acuto se piu' piccolo di un angolo retto.

Dato l'angolo acuto a di vertive V,

consideriamo su uno dei due lati vari punti P1 ,P2,P3,P4, ........

proiettiamo tali punti sull'altro lato ottenendo rispettivamente i punti Q1 ,Q2,Q3,Q4,........

Fig 1

Fig 2


Si ottengono cosi' vari triangoli rettangoli: P1VQ1; P2VQ2; P3VQ3; P4VQ4 ........ecc.

Essi sono tutti simili tra loro avendo i tre angoli rispettivamente uguali ( l'angolo di vertice V in comune, gli angoli retti nei vertici Q e quindi anche gli angoli di vertici P uguali)

Ma come si sa, i triangoli simili hanno i lati corrispondenti direttamente proporzionali;

usando la linea di frazione invece del simbolo di divisione normalmente utilizzato per le proporzioni , si puo' scrivere

I valori di s, c, t non dipendono da come si sceglie il punto P sul lato dell'angolo ( infatti la posizione di P1 ,P2,P3,P4, ........ e' casuale), ma solo dalla ampiezza dell'angolo a che che si considera.

Per definizione,

s e' il seno dell'angolo a , sen a = s

c e' il coseno dell'angolo a , cos a = c

t e' la tangente dell'angolo a , tang a = t

ESERCIZI

  1. Disegna alcuni angoli, quindi con righello e calcolatrice determina il loro seno, il loro coseno e la loro tangente.
  2. Osservando anche i risultati dell'esercizio precedente sapresti dire quali valori puo' assumere il seno di un angolo acuto? E il coseno ? E la tangente? Motiva le risposte.
  3. Disegna un angolo acuto il cui seno vale:
  4. 0,5

    0,25

    0,75

  5. Disegna un angolo acuto il cui coseno valga :
  6. 0,5

    0,25

    0,75

  7. Disegna un angolo acuto la cui tangente sia:

    0,5

    2

    5

 

 

SENO COSENO E TANGENTE DI ANGOLI DI 30, 45, 60

Angoli di 30 e 60

Esaminiamo il triangolo rettangolo con gli angoli acuti di 30 e 60 ,

esso puo' essere pensato come una delle due parti simmetriche in cui l'altezza divide un triangolo equilatero di lato l.

Se si indica con l l'ipotenusa,

il cateto minore, opposto all'angolo di 30, sara' l/2

e applicando il teorema di Pitagora, il cateto maggiore , opposto all'angolo di 60 e'


Per determinare i valori di sen 60 , cos 60, tang 60, disegniamo un angolo di 60, quindi preso un punto P su uno dei due lati lo proiettiamo sull'altro lato in Q e applichiamo le definizioni del paragrafo precedente:

 

 

 

Considerando quanto detto fino ad ora e rappresentando un angolo di 30, e' semplice rendersi conto che :

Angolo di 45

Consideriamo un triangolo rettangolo con i due angoli acuti di 45.

Esso puo' essere pensato come una delle due parti in cui la diagonale divide un quadrato.

Esso ha i due cateti uguali di misura l e con il teorema di Pitagora si calcola l'ipotenusa che misura

Per determinare seno, coseno e tangente dell'angolo di 45, si rappresenta un angolo di 45, si sceglie un punto P su di un lato e lo si proietta in Q sull'altro lato:


Il triangolo rettangolo VPQ gode delle proprieta' appena ricordate, quindi:

 

I TEOREMI SUI TRIANGOLI RETTANGOLI

Dalle definizioni che sono appena state date di seno, coseno e tangente di un angolo acuto, si ottengono tre teoremi importantissimi sui triangoli rettangoli che si affiancano al noto teorema di Pitagora, al Primo Teorema di Euclide e al Secondo Teorema di Euclide. I nuovi teoremi, permettono di determinare tutti gli elementi di un triangolo rettangolo,( i suoi tre lati e i suoi angoli), quando sono noti due elementi di cui almeno uno sia un lato.

Rappresentiamo un triangolo rettangolo con l'angolo retto di vertice A e misura a ,l'angolo di vertice B di misura b , l'angolo con vertice in C di misura g . Il lato opposto all'angolo di vertice A si chiama a, il lato opposto al vertice C si chiama c e quello opposto al vertice B si chiama b opposto

 


Ricordando le definizioni di seno, coseno e tangente date in precedenza si ottiene:

Dando denominatore comune si ottengono i tre teoremi sul triangolo rettangolo:

In un triangolo rettangolo, il cateto e' uguale al prodotto dell'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto ad esso

In un triangolo rettangolo il cateto e' uguale all'ipotenusa per il coseno dell'angolo adiacente ad esso

In un triangolo rettangolo il cateto e' uguale all'altro cateto per la tangente dell'angolo opposto al primo cateto

Esempio n 1


Un triangolo ABC, rettangolo in A, ha l'ipotenusa che misura 10 cm e un cateto che misura 5 cm, risolvere il triangolo determinando tutti gli elementi mancanti.

Dati             Incognite

a =90             b, b , g

a =10 cm

c = 5 cm

 

sen g = c / a = 5 / 10 = 1/2 , ma l'angolo acuto il cui seno e' 1/2 misura 30, quindi g = 30.

Poiche' i due angoli acuti di un triangolo rettangolo sono complementari b = 90- g = 60

b = a cos g = 10 cos 30 quindi:

Esempio n 2

In un triangolo rettangolo, i cateti misurano 15 cm e . Determinare gli elementi mancanti del triangolo.

Dati             Incognite

a =90             a b , g

b = 15 cm


l'angolo acuto che ha per tangente tale valore e' quello di 60, quindi

g = 60, allora b = 90 - g = 30

l'ipotenusa e' uguale al cateto diviso per il seno dell'angolo opposto a tale cateto:

a = b / sen b = 15 / sen 30 = 15 / 1/2 = 30 cm