POTENZE CON ESPONENTE REALE

 

Si vuole dare un significato a scritture del tipo

in cui gli esponenti delle potenze sono numeri irrazionali

Primo passo: potenze con un numero naturale come esponente

Se a e' un numero reale non nullo ed n e' un numero naturale , in simboli aÎ R-{0} ed nÎ N,

se n¹ 0

es: 54 = 5*5*5*5 = 625

Secondo passo: potenze con un numero intero come esponente

Se a e' un numero reale non nullo ed z e' un numero intero , in simboli aÎ R-{0} ed nÎ Z,

se z e' non nullo:

es: 5-3= (1/5)(1/5)(1/5)=1/125

Terzo passo: potenze con un numero razionale come esponente

Se a e' un numero reale positivo ed p/q e' un numero razionale , in simboli aÎ R+ ed p/qÎ Q,

se p/q e' non nullo:

Es :

Quarto passo: potenze con un numero irrazionale come esponente

,

esso resta individuato quando si costruiscono due insiemi, quello delle approssimazioni per difetto e quello delle approssimazioni per eccesso.

Si noti che il numero irrazionale resta individuato da due insiemi di numeri razionali.

Per dare un significato al numero

si procede considerando due classi di potenze avente base 3 ed esponenti razionali, scegliendo come esponenti quei numeri razionali che approssimano

,

in tal modo si definiscono le potenze con esponente irrazionale attraverso delle potenze di cui e' noto il significato, ad esempio

Calcolando il valore delle potenze sopra indicate si ottengono due insiemi di approssimazioni per difetto e per eccesso di

Dopo sei passaggi e' possibile ottenere la seguente stima con tre cifre decimali esatte :

Con analogo procedimento e' possibile definire e determinare un valore approssimato di qualunque potenza con esponente irrazionale.

Poiche' i numeri reali sono costituiti dall'unione dei razionali con gli irrazionali, resta definito il significato della scrittura

ab con aÎ R-{0} ed bÎ R.

PROPRIETA' DELLE POTENZE

a0=1

a 1 = a

ab . ac = ab+c

ab: ac = ab-c

((a)b)c = a bc

ab . cb = (ac)b

ab: cb = (a:c)b

Espressioni di applicazione delle proprietà delle potenze

Esempio 1

si scrivono i fattori in forma esponenziale

si applicano le proprieta' delle potenze

Esempio 2

applico le proprieta' delle potenze

CURVA ESPONENZIALE

L'insieme dei punti del piano le cui coordinate verificano l'equazione y = ax con aÎ R+ ed xÎ R, si dice curva esponenziale.

La curva ha un andamento diverso quando la base della potenza e' maggiore di 1 e quando essa e' compresa tra zero ed uno.

PRIMO CASO: 0<a<1

Per rappresentare tale curva consideriamo a = 0,5

si ottiene il seguente grafico


Si noti che qualunque valore si da ad x e' possibile calcolare la potenza ax,

il grafico passa per il punto A(0,1) : a0 = 1

il grafico sta tutto nel semipiano delle y positive e non interseca mai l'asse delle x: ax e' sempre positiva e mai nulla,

il grafico e' decrescente poiche' all'aumentare di x , diminuisce il valore di y: a parita' di base, potenze con esponente maggiore assumono un valore minore

SECONDO CASO: a>1

Per rappresentare la curva esponenziale consideriamo a = 2

si ottiene il seguente grafico

Si noti che qualunque valore si da ad x e' possibile calcolare la potenza ax,

il grafico passa per il punto A(0,1) : a0 = 1

il grafico sta tutto nel semipiano delle y positive e non interseca mai l'asse delle x: la potenza e' sempre positiva e mai nulla,

il grafico e' crescente poiche' all'aumentare di x , aumenta il valore di y :m a parita' di base della potenza, la potenza con esponente maggiore ha valore maggiore.

EQUAZIONI ESPONENZIALI

 

TIPO : af(x) = ag(x)

Per risolverle basta uguagliare gli esponenti:

f(x)=g(x)

Esempio 1

32x = 1/27

trasformo l'equazione in modo che compaiono potenze con la stessa base:

32x = 3 -3

uguaglio gli esponenti:

2x = -3

Ris: x = - 3/2

Esempio 2

25x = 1/625

(52)x = 5 -4

52x = 5 -4

2x = -4

Ris : x = -2

Esempio 3

(5x)x = 5 4

x2 = 4

x = + 2

TIPO : af(x) = bg(x)

Bisogna applicare ad entrambi i membri i logaritmi ed utilizzare le loro proprieta':

Log af(x) = Log bg(x)

f(x) Log a = g(x) Log b e' diventata una equazione algebrica nell'incognita x

Esempio 1

32x+1 = 5

applico il logaritmo ad entrambi i membri

Log 32x+1 = Log 5

Uso la proprieta' dei logaritmi

(2x+1)Log 3 = Log 5

svolgo i calcoli indicati

2xLog 3 + Log 3 = Log5

ricavo x

2xLog 3 = Log 5- Log 3

TERZO TIPO:compaiono somme algebriche di potenze con la stessa base

Si risolvono con una sostituzione t = ax

Esempio 1

2x+1-23-x = 5

Pongo 2x = t

Risolvo l'equazione

2t - 3/t =5

per t¹ 0

2t2 -5t -3=0

quindi ricordando che t=2x

2x = -1 mai

2x = 6 applico i logaritmi

Esempio 2

32x - 4*3x+3 =0

con la sostituzione 3x = t

diventa

t2 - 4t +3=0

t= +2+1= +1 oppure +3

3x=1 mi da x = 0

3x=3 mi da x = 1

SOLUZIONI X=0 ED X=1

DISEQUAZIONI ESPONENZIALI

Primo tipo: a f(x) < a g(x) oppure a f(x) > a g(x)

Se la base della potenza e' minore di 1, la curva esponenziale e' decrescente, quindi si passa agli esponenti capovolgendo il segno della disuguaglianza

Esempio

(3/5)2X < (3/5)X+1

si passa agli esponenti

2x > x+1

risultato:

x>1

Se la base della potenza e' maggiore di 1, la curva esponenziale e' crescente, quindi si passa agli esponenti lasciando lo stesso segno della disuguaglianza

Esempio

(6)2X < (6)X+1

si passa agli esponenti

2x < x+1

risultato:

x<1

Esempio

2(x+6) 2x < (1/2)3x-6

si porta tutto in base 2 ( maggiore di 1)

2x+6+x < 2-3x+6

si passa agli esponenti

x+6+x < -3x+6

si risolve l'equazione algebrica

5x > 0

x>0

Esempio

(3/4)2x(16/9)x+1 < 3/4

si porta tutto in base 3/4 ( minore di uno)

(3/4)2x(3/4)-2x-2 < 3/4

si passa agli esponenti capovolgendo il segno della disuguaglianza

2x-2x-2>1

si risolve l'equazione algebrica ottenuta:

-2>1

MAI VERIFICATA

Secondo tipo: af(x) < bg(x) oppure af(x) > bg(x)

Analogamente a quanto si fa con le equazioni, si applica il logaritmo ad entrambi i membri e si risolve l'equazione algebrica ottenuta

Esempio

3x < 2x+3

applico il logartimo in base dieci ad entrambi i membri:

Log 3x < Log 2 x+3

Per le proprieta' del logartimo:

xlog3 < xLog2 +3 Log2

x(Log3-Log2) < 3Log2

divido entrambi i membri per (Log3-Log2) che e' un numero positivo

risultato: x < 3Log2/((Log3-Log2)

Esempio

3x < 52x+1

applico il logartimo in base dieci ad entrambi i membri:

Log 3x < Log 5 2x+1

Per le proprieta' dei logaritmi

xLog3 < 2x Log5 +Log5

porto i termini in x al primo membro

x(Log3-2Log5) < Log5

divido entrambi i membri per (Log3-2Log5) che e' un numero negativo

risultato:x > Log5 /(Log3-2Log5)

Terzo tipo:si risolvono con la sostituzione

Analogamente a quanto accade con le equazioni esponenziali del terzo tipo, si pone t = a x

Esempio

32x - 5 * 3x +6 >0

pongo t = 3x

t2 -5t +6>0

risolvo la disequazione algebrica ottenuta:

t<2 U t>3

3x<2 U 3x>3

risolvo le due disequazioni esponenziali ottenute

xLog3 < Log2 U x>1

Risultato: x<Log2/Log3 U x>1