EQUAZIONI DIFFERENZIALI DI BERNOULLI

Le equazioni differenziali di Bernoulli hanno la seguente forma canonica:

y + p(x)y = q(x)yn con n¹ 0 ed n¹ 1

essa, con opportuni passaggi si trasforma in una equazione differenziale lineare

NOTA: se n=0 od n=1 lequazione di Bernoulli diventa una equazione lineare che si risolve con il procedimento gia noto

NOTA:e n>0 la funzione y=0 e soluzione

PROCEDIMENTO RISOLUTIVO

y + p(x)y = q(x)yn

divido per yn con y¹ 0

*) yy-n + p(x)y1-n = q(x)

si pone

y1-n=z

si deriva

z=(1-n)y-ny

si sostituisce in *) ottenendo una equazione lineare:

z/(1-n) +p(x)z = q(x)

risolvendo tale equazione lineare con il metodo noto, si ottiene

z(x) quindi la soluzione sara

y=[z(x)]1/(1-n)

ESEMPIO N1

y + xy = x3y3

n=3, y=0 e soluzione

/y3 con y¹ 0

yy-3 +xy-2 = x3

pongo z=y-2derivo

z=-2y-3y

-1/2 z + xz = -2 x3

z- 2xz = -2x2 e una equazione lineare

uso il metodo di Lagrange

z=2xz

dz/z=2xdx

ln|z|=x2+lnc

z=cex^2

z= c(x)ex^2+2xc(x)ex^2

c(x)ex^2+2xc(x)ex^2-2xc(x)ex^2=-2x3

c(x)=-2x3e-x^2

si integra per parti

c(x)=ò (-2xe-x^2)x2dx=x2e-x^2-ò 2xe-x^2dx = x2e-x^2+ e-x^2 +k

z=x2+1+kex^2

soluzione

y= (x2+1+kex^2)-0.5 U y=0

ESEMPIO N2

y 2tgx y = 2 y0.5

y=0 e soluzione

/y0.5

y y0.5-2tgx y0.5 = 2

pongo z= y0.5

derivo z=(0.5)y-0.5y

sostituisco

2z 2tgx z = 2

z tgx z = 1

passo allomogenea associata:

z tgx z = 0

dz/z= senx/(cosx)dx

ln|z|=-ln|cosx|+lnc

z=c/cosx

z=c(x)/cosx +c(x) senx/cos2x

c(x)/cosx +c(x) senx/cos2x- c(x) senx/cos2x=1

c(x)=cosx

c(x)= senx +k

z=tgx +k/cosx

y=( tgx +k/cosx)2 U y=0

ESEMPIO N 3

y x/(1+x2) y = e-xy3

y=0 e soluzione

/y3

yy-3 - x/(1+x2) y-2 = e-x

z= y-2

z= -2y-3y

z+2 x/(1+x2)z=-2e-x e lineare

dz/z = -2 x/(1+x2)dx

ln|z|=-ln(1+x2)+lnc

z=c/(1+x2)

z= c(x)/(1+x2)-2xc/(1+x2)

c(x)/(1+x2)-2xc/(1+x2)2+2x c/(1+x2)2=-2e-x

c(x)=-2(1+x2)e-x

si integra per parti

c(x) = 2e-x(1+x2+2x+2)+k

z=[2e-x(x2+2x+3)+k]/ (1+x2)

y2=(1+x2)/[2e-x(x2+2x+3)+k]