Distanza di un punto da una retta

Data una retta r ed un punto P non appartenente ad essa, si chiama distanza del punto P dalla retta r il segmento di perpendicalare condotto dal punto P alla retta r.

Sia P ( x0 , y0 ) e sia r la retta di equazione implicita ax + by + c = 0. Indico con H il piede della perpendicolare condotta da P ad r.

La distanza PH = d è data dalla seguente formula

 

Esempio 1
Calcolare la distanza tra il punto A(-3;5) e la retta di equazione 2x - y + 4 = 0

L'equazione è scritta in forma implicita; basta sostituire i dati nella formula:
x0 = -3 ,  y0 = 5 ,   a = 2 ,   b = -1 ,  c = 4

Esempio 2
Calcolare la distanza tra il punto A(-1;0) e la retta di equazione y = -3x + 2

L'equazione è scritta in forma esplicita. E' necessario riscriverla in forma implicita: 3x + y -2 = 0.
Sostituendo i dati nella formula
x0 = -1 ,  y0 = 0 ,   a = 3 ,   b = 1 ,  c = -2
si ottiene

Esempio 3
Determina le coordinate del punto P appartenente all'asse delle ordinate, la cui distanza dalla retta di equazione x - 2y - 3 = 0 è
.

Il punto P appartiene all'asse y, dunque le sue coordinate sono P(0;k), con k numero reale incognito.
Essendo nota la distanza del punto P dalla retta, è necessario impostare l'equazione nell'incognita k

Risolvendo tale equazione (contenente valore assoluto) si ottiene |-2k-3| = 11, dalla quale si ricavano le due equazioni di primo grado in k:
-2k - 3 = 11
ossia k = -7
-2k - 3 = -11 ossia k = 4.

Si ottengono i due punti di coordinate (0 ; -7) e (0 ; 4).