DISEQUAZIONI RAZIONALI FRATTE

Le disequazioni nelle quali l'incognita compare anche al denominatore si chiamano razionali fratte (o frazionarie). Ridotte nella forma normale si presentano in una delle seguenti forme :

        

RISOLUZIONE DI UNA DISEQUAZIONE FRATTA

Per risolvere una disequazione fratta seguiamo il seguente procedimento

  1. riduco la disequazione a forma normale ( in pratica eseguo tutti i calcoli ricordando che i denominatori non si possono eliminare )
  2. pongo ogni fattore del numeratore > 0 (oppure 0 ) e ogni fattore del denominatore > 0, indipendentemente dal verso (maggiore o minore) della disequazione
  3. rappresento in un unico grafico tutti i fattori così ottenuti
  4. applicando la regola dei segni, stabilisco gli intervalli in cui la disequazione è complessivamente positiva o negativa
  5. osservo il verso della disequazione:

1 se d. > 0 allora la soluzione è data dagli intervalli positivi

1 se d. < 0 , la soluzione è data dagli intervalli negativi

+ Il denominatore deve essere sempre diverso da zero

Esempio 1

l Pongo numeratore e denominatore > 0 :

N > 0 x2 - 8 x - 9 > 0, x < -1 , x > 9

D > 0 x2 +2 x -15 > 0, x < -5 , x > 3

l Costruisco il grafico

l Poiché il verso della d. è positivo, la soluzione è data dagli intervalli positivi :

x < -5 , -1 < x < 3 , x > 9 

Esempio 2

l Pongo numeratore e denominatore > 0 :

N > 0 x2 - 16 x + 55 > 0 , x < 5 , x > 11

D > 0 x - 1 > 0 , x > 1

3 - x > 0 , x < 3

il fattore 2 (positivo) è una costante e si può tralasciare

l Costruisco il grafico

l Poiché il verso della d. è negativo, la soluzione è data dagli intervalli negativi :

x < 1 , 3 < x < 5 , x > 11

Esempio 3

l Scompongo il numeratore della frazione :

l Pongo numeratore e denominatore > 0 :

N > 0 x > 0

x2 - 2x + 1 > 0 " x , x 1

D > 0 4 - x2 > 0 , -2 < x < 2

l Costruisco il grafico

l Poiché il verso della d. è positivo, la soluzione è data dagli intervalli positivi :

x < 2 , 0 < x < 2 , x 1

Esempio 4

l Pongo il numeratore 0 ed il denominatore > 0 :

N 0 x2 - 6x + 5 0 , x 1 e x 5

D > 0 1 + x2 > 0 " x

l Costruisco il grafico

 

l Poiché il verso della disequazione è positivo, la soluzione è data dagli intervalli positivi, estremi compresi

x 1 e x 5

Esempio 5

l Scompongo il denominatore della frazione :

l Pongo il numeratore 0 ed il denominatore > 0 :

N 0 10x3 0 per x 0

D > 0 x2 -1 > 0 per x < -1 e x > 1

X2 + 4 > 0 per " x

l Costruisco il grafico

l Poiché il verso della disequazione è negativo, la soluzione è data dagli intervalli negativi, estremi compresi

x < -1 e 0 x < 1

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