Sezioni cave chiuse a parete sottile di forma qualsiasi

Determinazione delle tensioni tangenziali t .

Le tensioni tangenziali t sono, in prossimità delle pareti, ad asse tangenti; all'interno non si può affermare la stessa cosa, ma se la parete è sottile, le componenti normali alle pareti risultano trascurabili.

Consideriamo ora un elemento di lunghezza dl e di spessore s: t · s· dl è l'azione tangenziale orientata secondo la linea media del tratto dl.

Poniamo t · s = q , flusso delle azioni tangenziali, quindi :

t · s· dl = q· dl

Valutiamo ora il momento rispetto ad un punto qualsiasi:

dM_t= q· r· dl ma r· dl = 2 dA

dM_t= 2 q· dA

M_t= 2 ò q· dA

Indicando con A l'area racchiusa dalla linea mediana della sezione e considerando q costante, come la portata in un condotto, in relazione all'analogia idrocinetica.

Si può fare anche un'altra considerazione per constatare il fatto che il flusso delle tensioni tangenziali q è costante; consideriamo una sezione cava a parete sottile di forma qualunque soggetta ad un momento torcente M_t; (lo spessore non è necessariamente costante). Sezionandola come in figura scriviamo l'equilibrio delle tensioni interne lungo l'asse longitudinale:

1· t _1·s₁ = 1· t _2·s₂ da cui

q₁ = q₂

Essendo quindi q costante si può scrivere:

M_t= 2 qò dA = 2q · A I formula di Bredt

Applicando la formula al caso di una sezione circolare cava a parete sottile si ha:

uguale alla formula ricavata in precedenza partendo da altre considerazioni.

	Ricaviamo ora una relazione che leghi q alla sollecitazione Mt, alla geometria della sezione e al modulo di elasticità tangenziale G. In una deformazione il lavoro delle forze esterne deve uguagliare quello delle tensione interne.
	Esaminiamo il caso di una sezione cava a parete sottile. Il momento torcente deve crescere gradualmente durante la sollecitazione dal valore zero al valore finale Mt; allora si ha, in base a note considerazioni

L_e = 1 M_t q

L'area tratteggiata in figura rappresenta il lavoro esterno di deformazione. La linearità fra q e Mt è conseguenza della linearità fra tensioni e deformazioni. Per quanto riguarda il lavoro interno di deformazione:

L_i = 1 ò t · g · dV

Poiché g = t /G si avrà, nel caso che la struttura sia costituita tutta dello stesso materiale (G = costante)

giustifichiamo l'espressione precedente

dL_i= 1 · t _{xy ·}dx · dz · g · dy = 1 · g · dV

Sostituendo ora nell'espressione del lavoro L_i il valore di t dato dalla I formula di Bredt,

con dV = dl · s · 1 ( le t si considerano come in precedenza variabili solo con l, essendo lo spessore sottile).

Eguagliando infine i due lavori L_i ed L_e :

Ponendo, analogamente a prima

si ottiene la formula generale.

L'area A ha un'importanza notevole; a parità di s e di l la rigidezza torsionale concernente la geometria della sezione aumenta con A², come si vede dalla formula di Bredt, mentre la tensione t è inversamente proporzionale alla prima potenza di A. Quindi concludendo, è più resistente a torsione la sezione che racchiude un'area A maggiore.