Calcolo del momento flettente

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Scopo del progetto

 Obbiettivo della relazione è calcolare il momento flettente massimo, generato dalla portanza alare, che può essere sopportato da una data sezione alare.

 

Cenni teorici:

Flessione

 La flessione si dice retta quando il piano di sollecitazione coincide col piano di flessione (piano nel quale si deforma l’asse geometrico dell’elemento strutturale), altrimenti si dice deviata.

In pratica è raro il caso di una trave sottoposta in tutte le sezioni al solo flettente, in quanto una trave è in generale soggetta a sollecitazioni composte (spesso la flessione è accompagnata da taglio ).

Possiamo comunque sempre condurci al solo caso flessione, infatti è possibile esaminare separatamente gli effetti delle singole sollecitazioni in base al principio della sovrapposizione degli effetti.

Si consideri una trave omogenea ed elastica che abbia sezione rettangolare costante e peso proprio di entità trascurabile, soggetta all’azione di una coppia di forze di momento M, applicate alle sue estremità, e aventi senso opposto l’una rispetto l’altra.

Il piano di sollecitazione interseca ogni sezione secondo un asse “s” di simmetria rispetto la sezione stessa; tale asse rappresenta l’asse di sollecitazione, ed è perpendicolare alle sezioni della struttura.

Per la costanza del momento M l’entità della deformazione è costante in ogni elemento della trave, per cui l’asse geometrico di essa si flette divenendo una curva, detta linea elastica, di curvatura costante, contenuta in un piano di flessione coincidente con quello di sollecitazione.

Le fibre longitudinali, che si deformano secondo archi di cerchio concentrici contenuti in piani paralleli al piano di flessione, risulteranno in parte sottoposte a sollecitazioni  di compressione, e in parte a sollecitazioni di trazione.

Vi saranno tuttavia fibre non sottoposte ad alcuno sforzo, tali fibre formeranno uno strato che incontra ogni sezione secondo un asse “n”, definito asse neutro.

La dilatazione delle fibre trasversali che è espressa dalla relazione studiata da Poisson, è proporzionale e di segno opposto alla fibre longitudinali; cioè se le fibre si accorciano longitudinalmente, si allungheranno trasversalmente.

Questa deformazione ha, salvo casi particolari, entità tale da poter essere trascurata nel calcolo.

Per poter determinare  la distribuzione degli sforzi normali alle sezioni, occorre ipotizzare che le sezioni rette si mantengano piane e perpendicolari alle fibre deformate.

Pertanto se si considera un tronco di trave di lunghezza unitaria, una sua fibra subisce un allungamento                         (o accorciamento) proporzionale alla sua distanza dall’asse neutro; e di conseguenza la tensione normale s di tale fibra sarà proporzionale al suo allungamento.

Si può allora facilmente dimostrare che lo sforzo nel punto generico vale:

 

in cui Mf è il momento flettente applicato alla struttura, “y” è la distanza dall’asse neutro, e Jx è il momento d’inerzia della sezione calcolato rispetto all’asse neutro.

Appare evidente che nei punti del bordo superiore e di quello inferiore della sezione più lontani dall’asse neutro lo sforzo normale ha il massimo valore; si avrà quindi:

dove “ymax” è la distanza fra la fibra più sollecitata e l’asse neutro.

In tutti gli altri punti della sezione, diversi dai bordi precedentemente citati, saranno quindi sottoposti a sforzi minori, e perciò il materiale della struttura “lavorerà” meno di quanto potrebbe.

Per sfruttarlo razionalmente  conviene quindi concentrarlo in due nuclei lontani dall’asse neutro collegati da una sottile anima , come per esempio nei profilati a doppio “T”.

Conviene inoltre aumentare quanto più possibile, entro certi limiti, l’altezza della sezione, in modo da aumentarne la rigidezza a flessione, dato che, come è facile osservare dalla formula, aumentandone il suo momento d’inerzia diminuirà lo sforzo normale a cui verrà sottoposta.

 Definendo una nuova grandezza, modulo di resistenza a flessione, come il rapporto fra il momento d’inerzia e la distanza fra l’asse neutro e la fibra più sollecitata, si avrà:

 La condizione di resistenza della trave sarà quindi soddisfatta qualora le tensioni interne non supereranno il carico unitario di sicurezza (k); nel caso della flessione le s variano linearmente, per cui se si verifica la condizione:

la resistenza è assicurata alla periferia della sezione, e lo è ancor di più all’interno, dove le tensioni hanno entità minore fino ad annullarsi in corrispondenza dell’asse neutro. L’equazione di stabilità a flessione diviene pertanto:

Struttura dell’aereo

 Gli aerei oggi in attività sono costituiti da varie componenti essenziali:

 La struttura tipica dell'ala consiste di un'intelaiatura formata da longheroni e centine racchiusi da una sottile lamina metallica di rivestimento; tale struttura viene definita comunemente struttura a guscio essa è una struttura cava con pareti sottili in cui il materiale resistente è disposto lungo il suo perimetro; il rivestimento del guscio, in lamiera sottile deve essere irrigidito sia da elementi longitudinali (correnti) che da elementi trasversali (centine).

La lamiera del rivestimento, di piccolo spessore, assorbe le tensioni tangenziali legate al taglio e alla torsione, mentre collabora alla resistenza flessionale insieme ai correnti.

Nei i piccoli aerei o negli alianti vengono impiegati rivestimenti non collaboranti, in tela trattata, o, meno frequentemente, legno compensato o fibre di vetro impregnate di resine.

Nelle ali possono essere utilizzati uno o più longheroni, che si estendono dalla fusoliera all'estremità dell'ala, ma solitamente la struttura più comune ne presenta due

I longheroni sono le travi principali della struttura a guscio dell'ala. I longheroni assieme alle altre intelaiature, centine e correnti, sono destinati a sopportare gran parte delle sollecitazioni alle quali l'ala è sottoposta.

Le centine, poste ad angolo retto rispetto ai longheroni,sono quella parte dell'ala che uniscono l'estradosso (parte superiore del profilo alare) e intradosso (parte inferiore del profilo alare). Esse conferiscono all'ala la sua forma esterna e quindi determinano la forma del profilo alare, cioè la forma che si otterrebbe sezionando con un piano verticale longitudinale l'ala del velivolo: in altre parole si può dire che la sagoma della centina costituisce, spesso, il profilo aerodinamico dell’ala.

Rivestimenti metallici, costituiti cioè da una lamina metallica, e che quindi contribuiscono alla robustezza dell'ala, vengono impiegati in tutti gli aerei di grandi dimensioni, anche se si sta sempre più diffondendo l'impiego di strutture e rivestimenti plastici rinforzati.  

Come si è brevemente accennato prima, per definire la resistenza a flessione di una trave si deve determinare il suo modulo di resistenza flessionale (Wf) .Per calcolare tale termine è necessario determinare le caratteristiche geometriche della sezione alare le cui caratteristiche resistenti  sono date da dai longheroni, dai correnti e dal rivestimento.

I passi da seguire sono:

1.        determinazione delle aree resistenti: aree di correnti, dei longheroni e del rivestimento;

2.        determinazione delle coordinate del baricentro della sezione alare;

3.        calcolo dei momenti d'inerzia secondo un sistema di assi cartesiani x,y; calcolo dei momenti principali d'inerzia;

4.        calcolo del Wf . 

Ipotesi semplificativa

Tenuto conto del tipo di struttura che stiamo esaminando, struttura a guscio, si considera la sezione alare come costituita da aree resistenti concentrate e non distribuite come in effetti sono, cioè che le aree dei correnti e delle solette dei  longheroni sono considerate come concentrate nel loro stesso baricentro.

Formule principali per il calcolo delle caratteristiche geometriche

 

Aree concentrate: Le aree resistenti della sezione alare si calcolano in due modi diversi a seconda che siano posizionati sul dorso o sul ventre dell'ala, questo avviene perché la lamiera  del rivestimento che collabora alla resistenza dell'ala si comporta diversamente a secondo che sia sottoposta a trazione o a compressione.

Supponendo che la portanza che si genera sull'ala sia diretta dal basso verso l'alto, la sezione dell’ala sarà sottoposta, a causa della flessione dell’ala, a compressione sul dorso e a trazione sul ventre. Quindi i correnti posti sul dorso sono sottoposti a delle forze di compressione. Supponiamo di concentrare nel loro baricentro la loro area resistente (Ac) e la una parte del rivestimento a stretto contatto col corrente. Tale area del rivestimento prende il nome di sezione o area collaborante (Si):

 La sezione collaborante (Si)  si calcola facendo il prodotto della larghezza collaborante (w), per lo spessore del rivestimento (t) che copre l'ala, avremo:

 La lunghezza collaborante in compressione a causa dei fenomeni di instabilità e lastica si calcola con la seguente formula:

 

 dove “E” indica il modulo di elasticità normale e sc indica la tensione critica a compressione del corrente.

Quindi otterremo:

Analogamente per i correnti del ventre, che sono sottoposti a trazione, troveremo:

dove la sezione collaborante verrà calcolata tenendo conto dell’interasse “l” tra i  correnti:

 

Dopo aver calcolato le arre concentrate di tutti i correnti e i longheroni comprensive del rivestimento, si calcola il baricentro della sezione.

 svolgimento 1a parte

 Esso si ottiene facendo la sommatoria di tutte le aree concentrate per la loro coordinata e dividendo tale somma per l’area totale:

 

Tramite questi valori si può eseguire il calcolo dei momenti d’inerzia, che costituiscono la base per il dimensionamento delle strutture e per la verifica della sua resistenza alle tensioni che agiscono su di essa.

Il momento d’inerzia di area risulta quindi dalla sommando i momento d’inerzia baricentrici di ogni elemento alla sommatoria dei prodotti delle aree concentrate per i quadrati delle rispettive distanze dalle coordinate del baricentro (momento di trasporto):

 

Ma dato che nel nostro caso supponiamo l’area dei correnti concentrati in un punto , il loro momento d’inerzia baricentrico sarà nullo; quindi:

Dato che nelle strutture aeronautiche capita spesso di aver a che fare con sezioni varie e non simmetriche, come nel caso dei profili alari, risulta necessario calcolare i momenti d’inerzia rispetto agli assi principali, ricordando che rispetto a questi assi il momento d’inerzia Jxy o prodotto d’inerzia risulta essere nullo.

Se la sezione presenta assi di simmetria essi sono quelli principali; ma in campo aeronautico è molto improbabile avere profili alari simmetrici ,a parte quello della deriva, infatti, i profili delle sezioni alari sono sempre asimmetrici.

Occorre perciò individuare l’angolo che gli assi presi come riferimento formano con quelli principali, e questo avviene risolvendo la seguente formula:

 

 

svolgimento 2a parte

 Momento flettente

 Ricavati i momenti d’inerzia della sezione del profilo alare si può ricavare il momento flettente massimo a cui l’ala può resistere.

Nelle strutture alari il momento flettente è causato dalla portanza prodotta e dalla resistenza.

La forza aerodinamica portante si può supporre come un carico uniformemente distribuito, e dato che la struttura dell’ala è simile a quella di una trave ad incastro, si può facilmente intuire che il momento flettente massimo sarà rilevabile nel punto più vicino alla fusoliera.

Il calcolo del momento flettente totale sarebbe quindi da ricondurre al calcolo di una flessione deviata, poiché risulta dalla somma dei due momenti creati da portanza e resistenza.

Tuttavia il calcolo di questi momenti flettenti è arduo, poiché portanza e resistenza sono raramente perpendicolari ai rispettivi assi “x” e “y”.

Questo avviene perché l’ala del velivolo è montata con un certo calettamento, e quindi anche se l’aereo si movesse di moto rettilineo a quota costante, l’incidenza relativa con cui il flusso d’aria colpirebbe il profilo sarebbe diverso da zero.

In questo modo anche portanza e resistenza risulterebbero inclinati rispetto agli assi.

Per facilitare quindi il calcolo del momento flettente occorre scomporre le forze, portanza e resistenza, in due  azioni che siano rispettivamente perpendicolare e parallela all’asse x, (assi corpo).

La scomposizione di portanza e resistenza diventa intuibile osservando lo schema del seguente profilo alare:

 

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 dal disegno si può osservare come le forze scomposte siano dirette normalmente e parallelamente al piano alare e alla corda e la conoscenza di queste componenti facilita, come già detto, il calcolo dei momenti flettenti, ma anche altri calcoli che interessano la struttura dell’ala.

Per determinare il valore numerico delle due componenti, normale (N) e tangenziale (T), viene utilizzata la trigonometria; infatti conoscendo l’incidenza con cui l’aria colpisce il profilo si ha:

ma dato che le incidenze di volo di un velivolo in volo di crociera sono relativamente basse, si può approssimare e arrivare a queste conclusioni:

 

La componente normale N provoca un momento attorno all’asse x del velivolo (Mx), mentre quella tangenziale T ne provoca uno attorno all’asse y (My).

Dato che la portanza numericamente parlando è dieci volte più grande della resistenza, allora anche la componente N sarà maggiore di T, ottenuta dalla differenza di due elementi dello stesso ordine; da qui si deduce di conseguenza che il momento Mx più elevato di My.

Ora per ricavare il momento flettente massimo cui può essere sottoposta l’ala, si risolve una semplice equazione:

dove per il momento M si sostituisce un numero di prova,  scelto naturalmente con criterio; k è il carico di sicurezza a tensione normale e viene calcolato facendo il rapporto fra la tensione di snervamento del materiale di cui è composta l’ala ed il grado di sicurezza, che in campo aeronautico vale 1.5; mentre sz è la tensione normale massima interna complessiva , ed è dovuta alla flessione deviata causata da portanza e resistenza; il valore di tale tensione è data dalla somma algebrica delle due tensioni dovute ai momenti Mx e My, e viene calcolata tramite la seguente formula:

tale formula è applicabile nel caso i momenti fossero riferiti ad assi che non siano quelli principali d’inerzia; nel caso invece si avesse l’opportunità di calcolare questi momenti rispetto a quelli principali, la formula diverrebbe la seguente:

dato che rispetto a tali assi il momento d’inerzia Jxy o prodotto d’inerzia risulta essere nullo.

Per ottenere i momenti Mx e My si scompone il momento M, preso a piacere, lungo gli assi x e y:

prendendo un angolo di incidenza a piacere si ricavano quindi i due momenti:

svolgimento 3a parte