Generalità

La sostentazione statica si richiama ai principi della fluidostatica, ramo della meccanica dei fluidi che s’interessa delle caratteristiche dei fluidi in quiete, e riguarda la classe degli aeromobili denominata aerostati: dirigibili, palloni. Il secondo principio della fluidostatica, noto come principio di Archimede, afferma che:
un corpo immerso in un fluido riceve una spinta, diretta dal basso verso l'alto, d’intensità pari al peso del volume di fluido spostato.

Sfruttando questo principio è stato possibile costruire oggetti volanti la cui sostentazione è indipendente dal moto relativo.

Sostentazione dell’aerostato a quota costante

Indicando con:

  il volume dell’aerostato;
  il peso specifico dell’aria;

la spinta di Archimede o spinta ascensionale, detta anche portanza statica, è espressa dalla relazione:

1.8 

dalla quale si deduce che per avere una spinta ascensionale apprezzabile, essendo il peso specifico alquanto piccolo, occorre un volume notevolmente elevato. Il volume è mantenuto, soprattutto negli aerostati flosci, facendo ricorso ad un gas leggero (aria calda o più comunemente idrogeno o elio, con preferenza per quest’ultimo per la sua infiammabilità e quindi impossibilità di dar luogo ad esplosioni), sfruttando la sua tendenza ad espandersi e salire.

Perché l’aerostato possa sostenersi a quota costante, fig. 1.8, il peso complessivo, composto dal suo peso proprio e da quello del gas di riempimento, deve essere bilanciato dalla spinta ascensionale, come mostra la relazione:

2.8 

in cui è stato indicato con:

  il peso proprio dell’aerostato;
  il peso del gas di riempimento.

Il peso del gas di riempimento, indicando con il suo peso specifico e supponendo che occupi tutto il volume dell’aerostato, può essere espresso dal prodotto e la relazione 2.8, tenendo conto della 1.8, diventa:

3.8

dalla quale si ottiene:

4.8 

Questa relazione evidenzia la necessità, per minimizzare il volume , di utilizzare un gas di riempimento a bassissimo peso specifico rispetto all’aria , onde rendere massima la spinta specifica .

A tal fine l’idrogeno sarebbe da preferire rispetto all’elio in quanto presenterebbe una maggiore spinta specifica, tuttavia esigenze di sicurezza impongono l’uso del secondo rispetto al primo.

La relazione 1.8 evidenzia che la spinta ascensionale , dipendendo dal peso specifico dell’aria, con l’aumentare della quota diminuisce. Esiste, però, la possibilità di ricorrere ad un accorgimento che permette di inibire tale diminuzione e consentire che la portanza statica resti costante al crescere della quota: evitare al gas di riempimento di disperdersi, uscendo dall’involucro, ma di espandersi rimanendo all’interno dello stesso. L’espansione del gas può essere ottenuta riempendo l’involucro solo parzialmente se si tratta di palloni o ricorrendo ad una camera con diaframma mobile nel caso di dirigibili. Dimostriamo la costanza della spinta ascensionale con l’aumento della quota.

Poiché sia l’aria che il gas di riempimento si trovano in condizione di quiete e quindi di ritenere trascurabili le azioni tangenziali, il loro comportamento termodinamico può essere assimilato a quello di gas perfetti; pertanto per essi si può scrivere rispettivamente:

5.8

6.8

Essendo in pratica la pressione di gonfiamento del gas pari a quella dell’aria (isobaria) così come le rispettive temperature (isotermia), dalle relazioni precedenti si ricava:

7.8

da cui:

8.8

Sostituendo questa espressione nella 1.8 si ottiene:

9.8 

La relazione precedente dimostra l’invariabilità della spinta ascensionale conseguente alla possibilità data al gas di espandersi ma conservando inalterato il suo peso. E’ intuitivo che l’espansione non potrà continuare all’infinito, ma esiste una quota alla quale il gas occuperà tutto il volume dell’aerostato, detta quota di pienezza. Oltre tale quota parte del gas uscirà dall’involucro, il peso non potrà più mantenersi costante e la spinta ascensionale comincerà a diminuire. A tale diminuzione corrisponderà una minore salita dell’aerostato il quale non potrà raggiungere una quota infinita ma un limite massimo detto quota di tangenza.

Determinazione della quota di pienezza

E’ stato osservato in precedenza che fino alla quota di pienezza il peso del gas di riempimento, in continua espansione, si mantiene costante. Indichiamo con, fig. 2.8:

     il volume iniziale di riempimento del gas;
      il volume totale dell’aerostato;
     il peso specifico del gas alla quota di riempimento;
  il peso specifico del gas di riempimento alla quota di pienezza.

Imponendo la condizione di costanza del peso del gas alla quota di riempimento ed a quella di pienezza, si può scrivere:

10.8 

dalla quale si ricava:

11.8 

Il rapporto prende il nome di grado di riempimento. Ricordando che la variazione del peso specifico del gas di riempimento con la quota segue la stessa legge dell’aria e che il volo per gli aerostati si svolge a quote solitamente inferiori agli 11.000 metri, dalla 11.8 si ottiene:

12.8 

dalla quale si può ricavare la quota di pienezza nel modo seguente:

13.8

Dimostriamo che il peso specifico del gas e dell’aria variano con la quota seguendo la stessa legge. Applicando la legge del gas perfetto sia all’aria che al gas alle quote di riempimento e di pienezza, si ottiene:

14.8

15.8 

da cui si ricava, per l’aria e il gas rispettivamente:

16.8 

17.8 

Confrontando queste equazioni si deduce che, in caso di isobaria e isotermia , sussiste la relazione che giustifica l’asserzione precedente:

18.8

Determinazione della quota di tangenza o di plafond

E’ già stato notato che il gas di riempimento oltre la quota di pienezza, continuando ad espandersi, esce dall’involucro e la spinta diminuisce. L’aerostato continua ad ascendere fino alla quota di tangenza, alla quale la salita si arresta poiché la spinta bilancia il peso. In base alla fig. 1.8, la forza che determina l’ascensione dell’aerostato, detta spinta, alla quota generica, può essere valutata nel modo seguente:

19.8 

Alla quota di tangenza, quindi:

20.8

in cui è stato indicato con il rapporto:

21.8

che assume i valori correnti:

  per l’elio;
      per l’idrogeno;

leggermente inferiori a quelli dei rispettivi gas puri per effetto del fenomeno dell’osmosi attraverso il tessuto dell’involucro.

Sostituendo nella 20.8 alla densità relativa la sua espressione, si ottiene:

22.8

da cui si ricava la quota di tangenza con l’espressione:

23.8

Determinazione dell’accelerazione ascensionale dell’aerostato

Indicando con W' il peso del gas di riempimento, l’accelerazione verticale dell’aerostato può essere ricavata richiamando la seconda legge della dinamica, espressa nella forma:

24.8 

Dalla relazione si deduce che il valore dell’accelerazione, ad una quota generica, dipende dall’eccedenza della spinta sul peso dell’aerostato, infatti più alto è il rapporto più elevata è l’accelerazione. Per evitare che tale accelerazione ascensionale raggiunga limiti non sopportabili si fa uso di zavorra che si scarica per permettere al mezzo di salire con gradualità e comfort. La discesa dell’aerostato, invece, viene ottenuta con la fuoriuscita del gas dall’involucro mediante una valvola posta sulla sua sommità. Ciò mostra che il volo dell’aerostato, ove non sono presenti motori, come nei dirigibili, è possibile solo per effetto di una continua regolazione tra zavorra e quantità di gas utilizzato.

Determinazione della velocità ascensionale dell’aerostato

Indichiamo con:

      la densità dell’aria alla quota generica;
    il coefficiente di resistenza dell’aerostato;
     la resistenza aerodinamica incontrata dall’aerostato;
  la superficie maestra dell’aerostato;
     la velocità ascensionale.

Con riferimento alla fig. 3.8, la condizione di equilibrio dinamico alla quota generica viene espressa dalla seguente relazione:

25.8

Esprimendo la resistenza nella nota forma aerodinamica, la 25.8 diventa:

26.8

dalla quale si ricava la velocità ascensionale nel seguente modo:

27.8

Questa relazione mette in evidenza che la velocità ascensionale dell’aerostato non è costante al crescere della quota in quanto variano la densità dell’aria e, dalla quota di pienezza a quella di tangenza, la spinta. Infatti, come mostra la fig. 4.8, da quota 0 a quella di pienezza , essendo la spinta costante, poiché l’aerostato è riempito solo parzialmente, la velocità ascensionale cresce per effetto della diminuzione della densità dell’aria. Dalla quota di pienezza a quella di tangenza riprende a decrescere anche la spinta oltre alla densità e poiché la diminuzione della prima è più marcata rispetto alla seconda l’effetto risultante è una diminuzione della velocità, che si riduce a 0 alla quota di tangenza dove la spinta si annulla.

Quantità di gas persa dall’aerostato tra le quote di pienezza e tangenza

Durante la salita dell’aerostato dalla quota di pienezza a quella di tangenza, l’ulteriore espansione del gas di riempimento provoca una fuoriuscita dello stesso dall’involucro in cui è contenuto. La quantità di gas che viene persa può essere valutata ricavando la differenza di peso del gas alle due diverse quote. Indicando con:

    il peso specifico del gas alla quota di pienezza;
     il peso specifico del gas alla quota di tangenza;
       il volume dell’aerostato, pari a quello occupato dal gas nell’intervallo di quota
               pienezza-tangenza;
  il peso del gas alla quota di pienezza;
    il peso del gas alla quota di tangenza;

la quantità di gas persa vale:

28.8

Moltiplicando e dividendo la 28.8 per il peso specifico del gas alla quota di riempimento, si ottiene:

29.8

che in base alle ipotesi di isobaria e isotermia diventa:

30.8

In base alla 21.8, applicata alla quota di riempimento, e ricordando che il rapporto dei pesi specifici coincide con la densità relativa, si perviene alla relazione definitiva:

31.8

Aerostato adiabatico

Si è supposto finora che l’ascensione dell’aerostato avvenisse in condizioni ideali, cioè è stato supposto che gas ed aria fossero costantemente alla stessa pressione (isobaria o omobaria) e temperatura (isotermia o omotermia). Nel caso reale continua a sussistere la prima ma l’evoluzione termica del gas si avvicina più ad una adiabatica che ad una isoterma. Questa nuova ipotesi modifica sia la quota di pienezza che di tangenza. Vediamo, quindi, come variano le espressioni per la determinazione delle due quote caratteristiche.

  Quota di pienezza adiabatica

Applicando la legge delle trasformazioni adiabatiche alle quote di riempimento e di pienezza, si ottiene:

32.8

da cui:

33.8

Tenendo conto della condizione di isobaria, questa espressione diventa:

34.8

e sostituendola nella 11.8, si ottiene:

35.8

Essendo il rapporto tra le pressioni espresso dalla relazione:

36.8

e tenendo conto che per l’aria , la quota di pienezza adiabatica è, in definitiva, pari a:

37.8

Confrontando questa relazione con la 13.8 si deduce che, essendo il numeratore della 37.8 più elevato, perché la potenza è più bassa essendo la base minore dell’unità e l’esponente più elevato, la quota di pienezza adiabatica è più alta rispetto a quella isotermica ideale.

  Quota di tangenza adiabatica

Imponendo, come è stato fatto nel caso ideale, alla quota di tangenza l’equilibrio tra peso e spinta, si ottiene:

38.8

Applicando la legge dell’adiabatica alle quote di riempimento e di tangenza e tenendo conto che gas e aria hanno le stese leggi di variazione del peso specifico, si ottiene:

39.8

Ricavando da questa espressione il peso specifico alla quota di tangenza e sostituendolo nella 38.8, si ricava:

40.8

Da questa espressione si può ricavare la quota di tangenza adiabatica nel modo seguente:

41.8

Il confronto di questa espressione con la 23.8 mostra che la quota di tangenza adiabatica è più alta rispetto a quella isotermica ideale, perché il numeratore della 41.8 è più alto in quanto la base della potenza è minore dell’unità e l’esponente è maggiore.

Effetto dell’irraggiamento solare sull’ascesa dell’aerostato

Quanto detto finora non ha tenuto conto dell’effetto del riscaldamento solare sul gas di riempimento. Tale effetto si traduce nella realtà in un’ulteriore espansione del gas che, pertanto, esercita una spinta aggiuntiva, denominata spinta libera, di cui bisogna valutarne l’entità. Riferendoci, per comodità, ad una ascensione dell’aerostato in condizioni ideali ed applicando la legge dei gas perfetti alle quote generica e di riempimento rispettivamente, si ottiene:

  per l’aria

42.8

  per il gas

43.8

Dalla 42.8 si ricava:

44.8

Con analogo procedimento dalla 43.8 discende:

45.8

Dividendo tra loro le espressioni 44.8 ed 45.8 ed imponendo le condizioni ideali di ascensione (isobaria ed isotermia alla sola quota di riempimento), si ricava che alla generica quota:

46.8

Poiché dalla quota di riempimento in poi l’irraggiamento solare produce una variazione di temperatura del gas, dalla 46.8 discende:

47.8

Come può notarsi l’effetto solare provoca un incremento del rapporto dei pesi specifici tra la quota di riempimento in poi che si traduce in un aumento sia della spinta che della quota di tangenza. Infatti, per la spinta alla generica quota, nell’ipotesi che il gas occupi l’intero volume dell’involucro :

  senza irraggiamento solare

48.8

  con irraggiamento solare

49.8

Dal confronto di queste due equazioni si nota che, essendo , ; la spinta libera sarà allora valutabile nel modo seguente:

50.8

Per effetto di questa ulteriore spinta del gas, la quota di tangenza subisce un incremento. La nuova tangenza ideale si troverà alla quota:

51.8

che è superiore a quella espressa dalla 23.8.

Infatti, dalla 47.8 scritta nella forma:

può essere ricavato, alla quota di pienezza:

52.8

Introducendo in questa relazione la 11.8, si ottiene:

53.8

dalla quale, la quota di pienezza in presenza di irraggiamento solare vale:

54.8

Questa espressione, tenuto conto che il suo numeratore è più piccolo di quello della 13.8, fornisce una quota di pienezza, con irraggiamento solare, inferiore rispetto a quello isotermico ideale e giustifica l’asserto precedente.