Generalità

Le leggi che regolano il comportamento dei fluidi in moto sono piuttosto complesse per cui, nonostante la notevole importanza pratica della fluidodinamica, potremo esporre qui solo alcuni concetti base.

L'interesse per la fluidodinamica risale alle primissime applicazioni ingegneristiche delle proprietà dei fluidi e alla necessità di realizzare macchine adibite a varie funzioni. Archimede fornì probabilmente il primo contributo in questo campo con l'invenzione della pompa a vite. Altre macchine idrauliche vennero in seguito costruite dai romani, che non solo adottarono la vite di Archimede per l'irrigazione e per l'estrazione dell'acqua dai pozzi, ma costruirono nuovi sistemi idraulici, alcuni dei quali sono tuttora in uso. Nel corso del I secolo a.C. l'architetto e ingegnere romano Vitruvio introdusse la ruota idraulica, una macchina che rivoluzionò il sistema di macinazione del granturco.

Gli ulteriori sviluppi in questo campo furono ritardati dal fatto che, nonostante le numerose precoci applicazioni della fluidodinamica, poco o nulla si sapeva allora dei suoi principi teorici fondamentali. Dopo il contributo di Archimede, dovettero passare più di 1800 anni prima che venisse compiuto un significativo progresso. Ciò avvenne per merito di Evangelista Torricelli, il quale nel 1643 inventò il barometro e formulò l'importante legge tuttora nota con il suo nome. La legge di Torricelli stabilisce la relazione tra la velocità di efflusso di un liquido da un foro praticato nel recipiente che lo contiene, e l'altezza del liquido al di sopra di esso. I successivi progressi della dinamica dei fluidi si ebbero per opera del matematico svizzero Leonhard Euler (Eulero) che, applicando allo studio dei fluidi i tre principi della dinamica enunciati da Isaac Newton, scrisse le equazioni fondamentali per il moto di fluidi ideali, cioè non viscosi.

Eulero per primo riconobbe che l'unica possibilità di enunciare leggi relativamente semplici per la dinamica dei fluidi fosse quella di limitare lo studio ai fluidi incomprimibili e ideali, ossia di trascurare gli effetti dell'attrito interno. Naturalmente, essendo i fluidi ideali mere approssimazioni dei fluidi reali, i risultati dell'analisi di Eulero possono essere considerati solo una stima approssimata del comportamento di fluidi reali caratterizzati da bassi valori di viscosità.

Flusso di fluidi incomprimibili e non viscosi

I fluidi incomprimibili e non viscosi, ossia privi di forze di attrito interne, si comportano come previsto dal principio di Daniel Bernoulli. Esso afferma che l'energia meccanica totale associata al flusso di un fluido ideale e incomprimibile è costante lungo le linee di flusso. Queste ultime sono linee ideali parallele in ogni punto alla direzione di flusso del fluido che, nel caso particolare in cui il moto sia stazionario, coincidono con le traiettorie seguite dalle singole particelle del fluido. Il principio di Bernoulli mette in relazione gli effetti della pressione con quelli della velocità e della gravità, ed evidenzia il fenomeno per cui la velocità di un fluido aumenta al diminuire della pressione. Esso si rivela estremamente importante nella progettazione degli effusori, nelle misure di flusso, e per gli studi di aerodinamica.

Moto di fluidi viscosi: moto laminare e turbolento

I primi esperimenti sul moto a bassa velocità di fluidi viscosi furono probabilmente condotti nel 1839 dal fisiologo Jean-Louis-Marie Poiseuille, interessato a determinare le proprietà della circolazione del sangue, e nel 1840 dall'ingegnere idraulico tedesco Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen. I primi tentativi di includere gli effetti della viscosità nelle equazioni matematiche del moto dei fluidi si devono invece all'ingegnere francese Claude-Louis-Marie Navier, e al matematico britannico George Gabriel Stokes il quale, nel 1845 formulò le equazioni fondamentali per i fluidi viscosi incomprimibili. Note come equazioni di Navier-Stokes, esse risultano talmente complesse da poter essere applicate soltanto a flussi semplici, qual è, ad esempio, quello determinato dal moto di un fluido reale in un condotto rettilineo. In questo caso il principio di Bernoulli non è applicabile perché l'energia meccanica totale viene dissipata per effetto dell'attrito viscoso, col risultato che si verifica una caduta di pressione lungo tutto il condotto. Dalle equazioni si evince che tale calo di pressione, per un determinato sistema di condotto e fluido, dovrebbe essere proporzionale alla velocità di flusso.

Moto laminare e turbolemtoGli esperimenti realizzati verso la metà del XIX secolo mostrarono che ciò è vero solo nei limiti di basse velocità, e che a velocità maggiori il calo di pressione dipende invece dal quadrato della velocità. Il problema non trovò soluzione fino al 1883, quando l'ingegnere britannico Osborne Reynolds distinse due tipi diversi di moto di un fluido viscoso all'interno di un condotto. Egli osservò che a basse velocità le particelle seguono le linee di flusso (regime laminare), secondo le previsioni delle equazioni analitiche, mentre a più alte velocità il flusso si rompe in una serie di gorghi (regime turbolento) non perfettamente prevedibili neppure con le moderne teorie. Reynolds stabilì inoltre che la transizione dal regime laminare a quello turbolento dipende da un solo parametro, detto in suo onore numero di Reynolds, che può essere calcolato moltiplicando il prodotto della velocità e della densità del fluido per il diametro del condotto e dividendo il risultato ottenuto per la viscosità. Se per un certo sistema fluidodinamico il numero di Reynolds risulta minore di 2100, il flusso all'interno del condotto è di tipo laminare; per valori più alti di tale parametro si instaura invece un regime di moto turbolento.

Lo studio dei moti turbolenti non può essere unicamente teorico, ma dipende da una sintesi tra dati sperimentali e modelli teorici, che è ancora da perfezionare. Il fenomeno della transizione da regime laminare a regime turbolento e la complessità di quest'ultimo possono essere osservati nella diffusione del fumo di una sigaretta in aria ferma. Dapprima esso sale verso l'alto dando luogo a un flusso di tipo laminare, ma dopo una certa distanza diventa instabile e si rompe in una serie di gorghi e circonvoluzioni.

La teoria dello strato-limite

Prima del 1860 circa, l'interesse ingegneristico per la dinamica dei fluidi si limitava quasi esclusivamente allo studio del moto dell'acqua. Lo sviluppo dell'industria chimica che ebbe luogo nella seconda metà del XIX secolo spostò l'attenzione anche sul comportamento di altri liquidi e di gas. Gli studi di aerodinamica vennero inaugurati dall'ingegnere aeronautico Otto Lilienthal, e conobbero i maggiori successi dopo il primo volo a motore compiuto nel 1903 dai fratelli Wilbur e Orville Wright.

La complessità del comportamento dei fluidi viscosi, in modo particolare in regime di moto turbolento, rappresentò un serio ostacolo agli ulteriori progressi della fluidodinamica. Nel 1904 l'ingegnere tedesco Ludwig Prandtl riconobbe che in un gran numero di casi è possibile e conveniente suddividere il fluido in moto in due regioni distinte: la regione di fluido prossima alla superficie del condotto, che consiste di un sottile strato limite in cui sono concentrati gli effetti della viscosità e all'interno del quale il modello matematico può essere semplificato significativamente, e la regione esterna a questo strato nella quale, potendosi trascurare gli effetti della viscosità, è possibile adottare le più semplici equazioni matematiche per i fluidi privi di attrito interno. È alla teoria dello strato-limite che si deve lo sviluppo delle più moderne applicazioni ingegneristiche nel campo della fluidodinamica, quali le ali dei velivoli, le turbine a gas e i compressori. Essa infatti non solo rese possibile una riformulazione più semplice delle equazioni di Navier-Stokes nella regione prossima alla superficie di corpo immerso in un fluido in moto, ma portò anche a ulteriori sviluppi della teoria sui fluidi ideali, nelle sue applicazioni alla regione esterna allo strato limite. Gran parte delle conquiste della dinamica dei fluidi che seguirono l'introduzione del concetto di strato-limite si devono all'ingegnere aeronautico di origine ungherese Theodore von Kármán, al matematico tedesco Richard von Mises e al fisico e meteorologo britannico Geoffrey Ingram Taylor.

Moto di fluidi comprimibili

L'interesse nella dinamica dei fluidi comprimibili scaturì dallo sviluppo delle turbine a vapore, dovuto all'inventore britannico Charles Algernon Parsons e all'ingegnere svedese Carl Gustaf Patrik de Laval, intorno al 1880. Il moto ad alta velocità del vapore all'interno di passaggi di flusso ricevette un notevole impulso dai successi della turbina a gas e della propulsione a getto, introdotte negli anni Trenta. Le prime ricerche sui flussi superficiali ad alta velocità vennero condotti nell'ambito degli studi di balistica, e in particolare del moto dei proiettili in aria. Gli sviluppi più rimarchevoli si ebbero verso la fine del XIX secolo e nel corso della seconda guerra mondiale, con la realizzazione di velivoli ad alta velocità e dei razzi.

Uno dei principi fondamentali del comportamento dei fluidi comprimibili prevede che la densità di un gas vari quando esso è sottoposto a notevoli variazioni di pressione e di velocità. Contemporaneamente inoltre, si manifestano anche variazioni di temperatura, ponendo problemi analitici ancora più complessi. Il comportamento di un fluido comprimibile in moto dipende dalla velocità di flusso, e varia in modo sostanziale a seconda che questa sia maggiore o minore della velocità del suono.

Il suono consiste sostanzialmente nella propagazione di una piccola perturbazione, o onda di pressione, all'interno di un fluido, e si propaga con velocità proporzionale alla radice quadrata della temperatura assoluta. Ad esempio, nell'aria alla temperatura di 20 °C, che equivale a 293 kelvin della scala assoluta, il suono si propaga alla velocità di circa 344 m al secondo. Se un aereo vola con velocità maggiore rispetto a quella del suono (volo supersonico), nelle estreme vicinanze dell'ala si verifica un'intensa compressione, o onda d'urto, che può essere percepita da un osservatore a terra, sotto forma di bang sonico. Il moto all'interno di fluidi comprimibili si identifica solitamente con un parametro detto numero di Mach, che è il rapporto tra la velocità di flusso e la velocità del suono. I flussi supersonici sono quindi caratterizzati da un numero di Mach maggiore di 1.

Studio del moto dei fluidi

Il moto dei fluidi nello spazio può essere affrontato seguendo due criteri diversi:

pulscel.gif (255 byte)      LAGRANGIANO
pulscel.gif (255 byte)      EULERIANO

Esaminiamo separatamente questi due metodi, evidenziando per ognuno le peculiarità.

Metodo lagrangiano

Lo studio del moto dei fluidi condotto alla Lagrange consiste nel seguire l’evoluzione della posizione di ogni particella nel tempo. Con riferimento alla fig. 1.7, la posizione della particella P nello spazio è individuata dalle tre coordinate , , e se la particella si muove esse variano nel tempo. Per descrivere univocamente la traiettoria seguita dalla particella basta, quindi, studiare come variano nel tempo le sue coordinate. Poiché la traiettoria della particella dipende dalla posizione iniziale e dal tempo , secondo la relazione:

1.7

Fig. 1.7 Traiettoria della particella P nello spazio

anche le coordinate all’istante generico , avendo indicato con le componenti della posizione nell’istante iniziale , possono essere espresse da relazioni del tipo:

2.7

In base a come le coordinate 2.7 variano in funzione del tempo, il moto del fluido può essere:

pulscel.gif (255 byte)      tridimensionale, se tutte sono variabili;
pulscel.gif (255 byte)      bidimensionali, se due sono variabili ed una costante;
pulscel.gif (255 byte)      monodimensionale o unidimensionale o lineare, se una è variabile e due costanti.

Metodo euleriano

Lo studio del moto dei fluidi condotto alla Eulero consiste nel seguire l’evoluzione del vettore velocità di ogni particella nel tempo. Con riferimento alla fig. 2.7, la velocità della particella P nello spazio è individuata dalle tre coordinate , , e se la particella si muove esse variano nel tempo. Per descrivere univocamente la traiettoria seguita dalla particella basta, quindi, studiare come variano nel tempo le ponenti della sua velocità. Poiché la velocità della particella dipende dalla velocità iniziale e dal tempo , secondo la relazione:

3.7

Fig. 2.7 Velocità della particella P nello spazio

anche le componenti della velocità all’istante generico , avendo indicato con le componenti della velocità nell’istante iniziale , possono essere espresse da relazioni del tipo:

4.7

Anche in questo caso, in base a come le componenti 4.7 variano in funzione del tempo, il moto del fluido può essere:

pulscel.gif (255 byte)      tridimensionale, se tutte sono variabili;
pulscel.gif (255 byte)      bidimensionali, se due sono variabili ed una costante;
pulscel.gif (255 byte)      monodimensionale o unidimensionale o lineare, se una è variabile e due costanti.

Linea di corrente

Si definisce linea di corrente quella linea immaginaria costituita da punti rappresentanti le posizioni occupate dalla particella nel tempo (Lagrange) o la linea inviluppo dei vettori velocità (Eulero).

Filetto fluido

Si definisce filetto fluido la linea di corrente percorsa da infinite particelle fluide.

Tubo di flusso

Si definisce tubo di flusso una porzione di spazio delimitata da pareti solide o fluide. In quest’ultima ipotesi esse devono intendersi costituite dagli infiniti filetti fluidi che contornano una linea chiusa.

Vena fluida

Si definisce vena fluida l’insieme degli infiniti filetti fluidi che scorrono all’interno di un tubo di flusso.

Moto stazionario o permanente

Il moto di un fluido si definisce stazionario o permanente se le caratteristiche delle particelle sono funzione solo dello spazio ma non del tempo; pur potendo variare da punto a punto nello spazio, nello stesso punto sono costanti nel tempo. Se la velocità è indipendente dallo spazio e dal tempo il moto stazionario si definisce uniforme. In caso contrario il moto stazionario è vario.

Moto laminare e turbolento

Si definisce laminare o irrotazionale il moto di un fluido i cui filetti fluidi sono paralleli tra di loro; in caso contrario il moto è turbolento o rotazionale o vorticoso. Il moto laminare è un moto ordinato in cui i vettori velocità delle particelle sono paralleli; il moto turbolento è, invece, caratterizzato da estremo disordine in cui si verifica un persistente mescolamento delle particelle a livello macroscopico con continua variazione di velocità.

Portata

Per un tubo di flusso in cui scorre del fluido, si definisce:

pulscel.gif (255 byte)      portata totale, la quantità di fluido che attraversa una generica sezione nell’unità di tempo;
pulscel.gif (255 byte)      portata specifica, la quantità di fluido che attraversa l’unità di sezione nell’unità di tempo.

La quantità di fluido che attraversa l’intera o l’unità di sezione può essere vista come volume, massa o peso; è possibile, quindi, definire tre tipi diversi di portata sia totale che specifica: volumetrica, massica e ponderale.

Portata volumetrica

Si definisce portata volumetrica totale, il volume di fluido che attraversa una generica sezione nell’unità di tempo. Essa viene indicata con , si calcola moltiplicando l’area della sezione e la velocità media del fluido in essa, secondo la formula:

5.7

e si misura in . Si definisce portata volumetrica specifica, il volume di fluido che attraversa l’unità di sezione nell’unità di tempo; viene indicata con , si calcola dividendo la portata volumetrica totale per l’area della sezione, secondo la formula:

6.7

e si misura in .

Portata massica

Si definisce portata massica totale, la massa di fluido che attraversa una generica sezione nell’unità di tempo. Essa viene indicata con , si calcola moltiplicando la densità del fluido per l’area della sezione e la velocità media del fluido in essa, secondo la formula:

7.7

e si misura in . Si definisce portata massica specifica, la massa di fluido che attraversa l’unità di sezione nell’unità di tempo; viene indicata con , si calcola dividendo la portata massica totale per l’area della sezione, secondo la formula:

8.7

e si misura in . Il prodotto viene generalmente anche chiamato flusso di massa.

Portata ponderale

Si definisce portata ponderale totale, il peso di fluido che attraversa una generica sezione nell’unità di tempo. Essa viene indicata con , si calcola moltiplicando il peso specifico del fluido per l’area della sezione e la velocità media del fluido in essa, secondo la formula:

9.7

e si misura in . Si definisce portata ponderale specifica, il peso di fluido che attraversa l’unità di sezione nell’unità di tempo; viene indicata con , si calcola dividendo la portata ponderale totale per l’area della sezione, secondo la formula:

10.7

e si misura in .

Leggi fondamentali

Le leggi fondamentali che regolano il moto dei fluidi sono:

conservazione della quantità di moto: la variazione di quantità di moto nell’unità di tempo di un sistema in moto è uguale alla risultante delle forze agenti;

conservazione del momento della quantità di moto: la variazione del momento della quantità di moto nell’unità di tempo di un sistema in moto è uguale al momento risultante delle forze esterne agenti;

conservazione della massa: la variazione di massa di un sistema in moto è uguale alla massa che esso scambia con l’ambiente esterno;

conservazione dell’energia: la variazione dell’energia totale di un sistema in moto è uguale all’energia che esso scambia con l’ambiente esterno.

Generalmente il tipo di moto che più interessa il campo aeronautico è quello unidimensionale. Esamineremo di seguito due teoremi di fondamentali importanza per la dinamica dei fluidi: di Leonardo e Bernoulli.

Teorema di Leonardo

Se in un tubo di flusso la portata è costante, le sezioni e le velocità in esse variano in modo inversamente proporzionale.

Con riferimento alla fig. 3.7:

Fig. 3.7 Tubo di flusso convergente

in base all’ipotesi di costanza della portata (si consideri la portata massica perché permette di fare alcune importanti considerazioni) risulta:

11.7

Se si ipotizza che il fluido si comporti da incompressibile () dalla 11.7 discende che:

12.7

Applicando la 12.7 alle sezioni di ingresso e di uscita del condotto, si ha:

13.7

da cui si ricava la relazione definitiva tra le sezioni e le velocità:

14.7

Questa relazione mette in evidenza che se:

pulscel.gif (255 byte)     , la velocità resta costante lungo tutto il condotto;
pulscel.gif (255 byte)      , la velocità è crescente lungo il condotto;
pulscel.gif (255 byte)     , la velocità è decrescente lungo il condotto.

E’ il caso di richiamare l’attenzione sull’importanza dell’ipotesi di incompressibilità del fluido alla base della 14.7; se quest’ipotesi viene rimossa, cioè se il fluido ha comportamento da compressibile, la velocità del fluido lungo il condotto ha andamento totalmente opposto.

Principio di Bernoulli

Il principio di Bernoulli fa riferimento all’energia posseduta dal fluido che attraversa un tubo di flusso: esso afferma che in ogni sezione l’energia meccanica resta costante. Per energia meccanica deve intendersi la somma dell’energia potenziale, cinetica e dinamica. Nella trattazione che segue non si considereranno altre forme di energia, ad esempio termica o chimica, considerandole nulle. Per la dimostrazione di tale principio è necessario richiamare il seguente principio:

il lavoro compiuto da tutte le forze, interne ed esterne, agenti sul fluido fra due sezioni generiche di un tubo di flusso deve bilanciare la variazione di energia cinetica subita dal fluido tra le stesse sezioni.

Si supponga che il fluido che attraversa il tubo di flusso sia perfetto, cioè privo di attrito interno tra le molecole, ed animato di moto unidimensionale, irrotazionale, incompressibile e permanente. Queste ipotesi, anche se notevolmente limitative, permettono di arrivare facilmente a delle conclusioni che frequentemente sono suffragate dalla realtà.

Facendo riferimento alla fig. 4.7, si indichiamo con:

pulscel.gif (255 byte)     e , due sezioni generiche del tubo di flusso:
pulscel.gif (255 byte)      e , le velocità del fluido nelle due sezioni generiche;
pulscel.gif (255 byte)      e , le altezze dei baricentri delle due sezioni e da una linea di riferimento:
pulscel.gif (255 byte)      , la pressione agente sulle pareti laterali del fluido;
pulscel.gif (255 byte)      , la pressione agente nella sezione di ingresso ;
pulscel.gif (255 byte)      , la pressione agente nella sezione di ingresso ;
pulscel.gif (255 byte)      W, il peso del fluido contenuto nel tubo di flusso tra le sezioni e

Fig. 4.7 Tubo di flusso

Valutiamo ora il lavoro delle forze agenti sul fluido. Nel calcolare detti lavori, poiché il fluido è in continuo movimento all’interno del tubo di flusso riferiamo il fenomeno all’unità di tempo. Con tale assunzione gli spostamenti del fluido saranno rappresentati dalle velocità nelle diverse sezioni e la quantità di fluido che attraversa il tubo di flusso dalle portate che, caso per caso possono essere volumetriche, massiche o ponderali.

pulscel.gif (255 byte)     Lavoro delle forze interne

Questo lavoro, in base all’ipotesi di fluido perfetto, cioè di fluido privo di forze tra le molecole, è ovviamente nullo.

pulscel.gif (255 byte)     Lavoro delle forze esterne

Le forze esterne sono rappresentate dal peso e da quelle derivanti dalle pressioni , e .

pulscel.gif (255 byte)     Lavoro della forza peso :

Fig. 5.7 Lavoro della forza peso

Il punto di applicazione della forza peso si sposta dal punto al punto , distanti e rispettivamente dalla linea di riferimento. Il lavoro compiuto si può immaginare come somma dei lavori nel tratto e ; quello in , essendo lo spostamento perpendicolare alla forza, è nullo per cui il lavoro totale coincide con quello compiuto in , pari a:

15.7

ed è negativo perché forza e spostamento hanno verso opposto.

pulscel.gif (255 byte)     Lavoro della forza dovuta alla pressione

Il lavoro di questa forza è nullo, in quanto essendo conseguente all’applicazione di una pressione essa è sempre perpendicolare alla direzione dello spostamento.

pulscel.gif (255 byte)     Lavoro della forza dovuta alla pressione

La forza esercitata dalla pressione sulla sezione , è espressa dalla relazione:

16.7

Il lavoro di tale forza, in base alle ipotesi precedenti, può essere espresso da:

17.7

pulscel.gif (255 byte)      Lavoro della forza dovuta alla pressione p2

Con analogo procedimento si può pervenire al lavoro prodotto dalla forza associata alla pressione agente nella sezione , che sarà espresso dalla relazione:

18.7

Il lavoro totale delle forze agenti sul fluido si potrà ottenere, quindi, sommando le 15.7, 17.7 e 18.7 e sarà espresso da:

19.7

E’ necessario ora valutare la variazione di energia cinetica subita dal fluido.

Ricordando l’espressione generica dell’energia cinetica:

20.7

e le ipotesi precedenti, in base alle quali la massa che passa nell’unità di tempo è la portata massica, le energie cinetiche nelle due sezioni possono essere così espresse:

21.7

22.7

Uguagliamo il lavoro totale delle forze che agiscono sul fluido alla variazione di energia cinetica si ottiene:

23.7

da cui:

24.7  

Poiché per la costanza della portata:

25.7

semplificando si ottiene:

26.7

Sviluppando ed ordinando questa equazione si ottiene la relazione definitiva, nota come equazione di Bernoulli:

27.7

la quale esprime la costanza, in ogni sezione del tubo di flusso, dell’energia meccanica che può essere così sintetizzata:

28.7

In questa equazione i vari addendi indicano:

pulscel.gif (255 byte)     , la pressione potenziale, funzione della posizione occupata dal fluido;
pulscel.gif (255 byte)      , la pressione statica, finzione esclusivamente dell’agitazione molecolare, cioè di forze che si
              sviluppano al livello microscopico;
pulscel.gif (255 byte)      , pressione dinamica, funzione della velocità macroscopica del fluido.

La relazione 28.7 ha un’ampia applicazione soprattutto in idraulica. In aerodinamica, poiché la pressione potenziale è trascurabile rispetto alle altre due solitamente si usa la relazione:

29.7

cui si attribuisce il significato di pressione totale.

L’equazione 28.7 può essere scritta anche in altra forma in cui ad ogni addendo si attribuisce il significato di un’altezza; infatti dividendo ogni termine per il peso specifico si ottiene:

30.7 

La relazione 30.7, ricordando il legame tra la densità ed il peso specifico, assume la forma definitiva:

31.7

in cui il significato dei vari termini è il seguente:

pulscel.gif (255 byte)     , altezza geometrica;
pulscel.gif (255 byte)     , altezza piezometrica;
pulscel.gif (255 byte)     , altezza dinamica.

Il principio di Bernoulli trova una vasta applicazione; può essere, infatti, utilizzato per dimostrare la formula di Torricelli, riguardante la velocità di efflusso da un serbatoio, oppure studiare il comportamento del fluido nel tubo di Venturi, condotto troncoconico convergente-divergente, o di Pitot, strumento diffusissimo in campo aeronautico perché alla base del funzionamento degli anemometri per la misura della velocità di volo.

Viscosità dinamica

Lo studio completo della dinamica dei fluidi non può prescindere dal considerare le forze interne tra le molecole, espresse da una parametro denominato viscosità.. E’ una grandezza fisica che esprime l'attrito interno di un fluido; dipende dalla tendenza degli strati adiacenti di un liquido (o di un gas) in movimento a opporsi allo scorrimento relativo o, analogamente, da quanto tenacemente gli strati riescano a trascinare quelli a essi adiacenti. Il merito di aver dato un significato fisico alla viscosità risale al fisico e matematico inglese Isaac Newton. Riferiremo ora dell’esperienza cui egli ricorse per definire e ricavare analiticamente la viscosità. Si considerino due superfici parallele, una fissa e l’altra mobile , tra le quali è contenuto un fluido, fig. 6.7:

Fig. 6.7 Esperienza di Newton

Applicando alla superficie mobile uno sforzo tangenziale essa si mette in moto determinando all’interno del fluidi uno scorrimento tra gli strati, le cui velocità sono, a causa della diversa influenza su di essi del trascinamento della superficie mobile, dell’effetto frenante di quella fissa e dell’attrito tra gli stessi, decrescenti dall’alto verso il basso, fino a ridursi a zero sulla superficie fissa. Esaminando il profilo di velocità determinatosi ed attribuendo alla diminuzione di velocità l’effetto delle forze interne, Newton definì la viscosità, o coefficiente di viscosità dinamica, il rapporto tra lo sforzo tangenziale ed il gradiente di velocità , secondo la seguente relazione:

32.7

il cui significato dei simboli può essere dedotto dalle figg. 6.7 e 7.7.

Fig. 7.7 Gradiente di velocità per fluidi newtoniani

In base all’esperienza condotta da Newton è stato osservato che non tutti i fluidi presentano lo stesso profilo di velocità. Oltre quello rappresentato in fig. 7.7 sono stati osservati anche i profili di fig. 8.7:

Fig. 8.7 Gradiente di velocità per fluidi non newtoniani

La diversità tra i diagrammi è rappresentata dall’andamento del gradiente di velocità, rappresentato dalla tangente trigonometrica degli angoli e , che si riflette direttamente sulla viscosità. Il profilo di velocità di fig. 6.7, triangolare, evidenzia un valore costante del gradiente di velocità, quindi, in base alla 32.7, anche la viscosità è costante. I fluidi che rispettano tale condizione sono denominati newtoniani. I profili di fig. 8.7, relativi ai fluidi non newtoniani, mostrano un gradiente di velocità decrescente nel caso e crescente in . Conseguentemente un fluido che, a parità di sforzo tangenziale applicato, presenta un profilo di velocità del primo tipo è caratterizzato da una viscosità dinamica crescente ed è denominato dilatante. Un fluido che mostra gradiente di velocità crescente, come nel caso , è caratterizzato da viscosità decrescente ed è denominato pseudoelastico. Una rappresentazione grafica della viscosità dinamica è mostrata dalle figg. 9.7 e 10.7, rispettivamente per i fluidi newtoniani e quelli che hanno un comportamento diverso. La fig. 9.7a evidenzia un fluido a viscosità costante, la fig. 9.7b mostra fluidi con diverso grado di viscosità dinamica, crescente al crescere di .

Fig. 9.7 Viscosità per fluidi newtoniani

In fig. 10.7 sono evidenziati fluidi pseudoelastici , caso a, e dilatanti.

Fig. 10.7 Viscosità per fluidi non newtoniani

I fluidi fin qui esaminati sono classificabili come elastici, cioè caratterizzati da un gradiente di velocità per . Esistono anche fluidi che presentano una notevole inerzia, per i quali lo sforzo da applicare ad essi per ottenere un gradiente di velocità diverso da zero è necessario che superi un valore definito ; essi sono denominati fluidi plastici , rappresentati in fig. 11.7:

Fig. 11.7 Viscosità per fluidi plastici

Il coefficiente di viscosità dinamica trova valida applicazione in tutti i fenomeni di dinamica, studio del moto dei fluidi in relazione alle cause che l’hanno provocato. Viene misurato per mezzo di un viscosimetro, un contenitore con un foro di dimensioni standard sul fondo; il ritmo con cui il fluido scorre dal forellino fornisce il valore della viscosità.

In base alla 32.7, lo sforzo tangenziale necessario a mantenere una differenza di velocità di un metro al secondo tra due strati posti a un metro di distanza fornisce la viscosità del fluido in . Per l'acqua a temperatura ambiente (20 °C), la viscosità è di 0,00100 ; alla temperatura di ebollizione (100 °C), essa si riduce a 0,00028 . La viscosità di un fluido diminuisce al diminuire della densità, e quindi all'aumentare della temperatura. In alcuni fluidi, tuttavia, l'aumento della velocità delle molecole bilancia perfettamente la diminuzione di densità. La viscosità degli oli di silicone, ad esempio, varia pochissimo al variare della temperatura, pertanto queste sostanze sono validi lubrificanti per macchinari soggetti a forti sbalzi di temperatura.

Nel caso dell’atmosfera, la variabilità della viscosità dinamica con la quota può essere valutata con la formula di Rayleigh:

33.7

da cui si evidenzia la sua diminuzione, in quanto dipendente dalla riduzione della temperatura con la quota stessa.

Viscosità cinematica

In molti problemi di cinematica, studio del moto prescindendo dalle cause che lo producono, è opportuno l’impiego del coefficiente di viscosità cinematica.

Si definisce viscosità cinematica di un fluido, il rapporto tra la viscosità dinamica e la densità; si indica con e viene valutata con la relazione:

34.7

L’analisi dimensionale della relazione appena scritta, mostra che l’unità di misura del coefficiente è .

Modulo di elasticità dell’aria

L’elasticità è la proprietà di un corpo, solido o fluido, di riprendere forma e dimensioni originali dopo aver subito una deformazione per effetto di una forza esterna. L'azione di una forza esterna, cioè una sollecitazione, determina nel corpo uno stato di tensione, a cui corrisponde una deformazione. Per molti materiali, tra cui metalli e minerali, vale la legge di Hooke, dal nome del fisico britannico Robert Hooke, secondo cui tensione e deformazione sono entro certi limiti direttamente proporzionali; tuttavia, se la forza esterna è troppo grande, il materiale può subire una deformazione permanente e la legge di Hooke non è applicabile. La tensione massima che un materiale può sopportare senza deformarsi in modo permanente è detta limite di elasticità.

Il rapporto tra la tensione e la deformazione, detto modulo di elasticità, e il limite di elasticità di un corpo sono determinati dalla natura del materiale di cui è costituito. La distanza tra le molecole in un materiale non sottoposto ad alcuna sollecitazione dipende dall'equilibrio tra le forze intermolecolari di attrazione e di repulsione. Quando si applica una forza esterna, creando così uno stato di tensione, le distanze intermolecolari mutano e il corpo subisce una deformazione. Se le molecole sono fortemente legate tra loro, verrà prodotta una piccola deformazione anche a seguito di una tensione elevata. Al contrario, se i legami tra molecole sono deboli, una piccola tensione può determinare una consistente deformazione. Al di sotto del limite di elasticità, quando la forza applicata viene rimossa, le molecole tornano a occupare le posizioni di equilibrio e il corpo riprende la forma originale. Oltre il limite di elasticità, la forza applicata separa le molecole a tal punto che non possono più ritornare alla loro posizione originale e il corpo risulta permanentemente deformato o addirittura si rompe.

Nel caso dei gas, come nell’aria nel nostro caso, poiché l’applicazione di una pressione determina una diminuzione di volume rispetto al volume iniziale, quindi aumento di densità rispetto a quella originale, il modulo di elasticità, rapporto tra tensione applicata e deformazione, è valutabile con la relazione:

35.7

Introducendo nella relazione precedente la velocità del suono, a, al cui quadrato il modulo di elasticità è direttamente proporzionale, si ottiene:

36.7

Come può notarsi dall’analisi dimensionale dalle relazioni 35.7 o 36.7, il modulo di elasticità ha le dimensioni di una tensione; si misura, infatti, in .

Natura delle forze agenti sui fluidi

Le forze che agiscono sui fluidi possono classificarsi in:

pulscel.gif (255 byte)     forze di pressione, ;
pulscel.gif (255 byte)     forze d’inerzia, ;
pulscel.gif (255 byte)     forze viscose, ;
pulscel.gif (255 byte)     forze elastiche,
pulscel.gif (255 byte)     forze gravitazionali,

Nelle espressioni precedenti, oltre ai simboli già noti, ad bisogna attribuire il significato di lunghezza caratteristica, cioè di una lunghezza caratterizzante il fenomeno in esame, ed a quello della velocità del fluido.

Numeri caratteristici o adimensionali

Questo argomento è di fondamentale importanza in quanto direttamente connesso con la teoria dei modelli matematici. Spesso si fa uso di modelli matematici per lo studio di particolari fenomeni fisici, di cui il gas perfetto e il gas incompressibile sono due esempi. Il ricorso ai modelli è particolarmente vantaggioso per la notevole semplificazione che introducono nella trattazione analitica del fenomeno fisico che si vuole esaminare. Essendo i modelli comunque un’astrazione, anche se costruiti con logica, resta il problema della loro applicabilità, in quanto è evidente che il loro uso comporta inevitabilmente degli errori. Quando è lecito considerare il comportamento di un gas reale assimilabile al comportamento di un gas perfetto e/o incompressibile? Quando l’errore che si commette è accettabile? A queste domande rispondono i numeri caratteristici.

Per definizione un numero caratteristico è il rapporto tra due fenomeni; esso esprime, quindi, l’importanza relativa di un fenomeno rispetto all’altro. Dal valore assunto dal numero caratteristico si può dedurre quale dei due fenomeni è trascurabile rispetto all’altro. Indicando genericamente con il numero caratteristico e con e due distinti fenomeni fisici, in base alla sua definizione:

37.7

Analizzando la relazione appena scritta, si può affermare che:

pulscel.gif (255 byte)     se assume un valore piccolo, il fenomeno fisico rappresentato da è meno rilevante rispetto a
         quello rappresentato da e tanto più piccolo è il valore di tanto più irrilevante è rispetto a.
         Dovendo, quindi, trascurare uno dei due fenomeni fisici, per la semplificazione matematica, è logico
         non considerare , piuttosto che .

pulscel.gif (255 byte)     se assume un valore grande, il fenomeno fisico rappresentato da è meno rilevante rispetto a
         quello rappresentato da e tanto più grande è il valore di tanto più irrilevante è rispetto a .
         Dovendo, quindi, trascurare uno dei due fenomeni fisici, è logico ritenere ininfluente , piuttosto che
        .

I più noti numeri caratteristici sono: il numero di Mach, Reynolds, Knudsen, Prandtl, Froude, Nusselt e Stanton. Vediamone in dettaglio il significato fisico.

Numero di Mach

Nella sua interpretazione dinamica il numero di Mach è il rapporto tra le forze d’inerzia e quelle elastiche, secondo la relazione:

38.7

Esso fornisce un indice dell’importanza delle forze d’inerzia rispetto a quelle elastiche. Ciò vuol dire che, per valori elevati del numero di Mach, si possono trascurare le forze elastiche perché molto piccole rispetto a quelle d’inerzia; il fluido si comporta da compressibile. Viceversa, per bassi valori del numero di Mach, sono le forze d’inerzia ad essere trascurabili rispetto a quelle elastiche ed il fluido si comporta da incompressibile.

Al numero di Mach può essere data anche un’interpretazione cinematica. Se, infatti, nella 38.7 si sostituiscono alle forze le relative espressioni, in funzione delle velocità, si ottiene:

39.7

da cui:

40.7

La 40.7 esprime il rapporto tra la velocità del fluido, o di un mobile che si muove nello stesso, e la velocità del suono nel fluido in cui avviene il moto. Anche a questa seconda interpretazione possono essere applicate le conclusioni cui si è pervenuti in merito al comportamento del fluido dal punto di vista della compressibilità. La 40.7 è molto utile in quanto permette di esprimere la velocità del fluido o del corpo in termini del numero di Mach, cioè in modo adimensionale, nonché di suddividere l’intero campo di moto in:

pulscel.gif (255 byte)     subsonico, se ;
pulscel.gif (255 byte)     sonico, se ;
pulscel.gif (255 byte)     supersonico, se ;
pulscel.gif (255 byte)     ipersonico, se

Il campo subsonico, nel caso dell’aria, può ulteriormente essere suddiviso, in merito all’effetto della compressibilità, in:

pulscel.gif (255 byte)     subsonico incompressibile, se ;
pulscel.gif (255 byte)     subsonico compressibile

Da quanto esposto si intuisce che gli effetti della compressibilità dell’aria possono essere trascurabili se , oltre tale valore considerare la compressibilità è un imperativo matematico e fisico.

Numero di Reynolds

Nella sua interpretazione dinamica il numero di Reynolds è il rapporto tra le forze d’inerzia e quelle viscose, secondo la relazione:

41.7

Esso fornisce un indice dell’importanza delle forze d’inerzia rispetto a quelle viscose. Ciò vuol dire che, per valori elevati del numero di Reynolds, si possono trascurare le forze viscose perché molto piccole rispetto a quelle d’inerzia; il fluido si comporta da perfetto. Viceversa, per bassi valori del numero di Reynolds ( ≤1.000 ), sono le forze d’inerzia ad essere trascurabili rispetto a quelle viscose per cui non è possibile considerare il comportamento del fluido come quello di un fluido perfetto.

Al numero di Reynolds può essere data anche un’interpretazione cinematica. Se, infatti, nella 41.7 si sostituiscono alle forze le relative espressioni, in funzione delle velocità, si ottiene:

42.7 

da cui, introducendo la viscosità cinematica:

43.7 

In questa nuova forma il numero di Reynolds, la cui interpretazione fisica resta quella esposta sopra, esprime il rapporto tra la velocità del fluido o del corpo e la velocità di propagazione delle azioni tangenziali in seno al fluido stesso.

Numero di Knudsen

E’ un indice per le mutue azioni tra il corpo mobile e il fluido. Viene valutato con il rapporto:

44.7 

in cui è il cammino libero medio molecolare ed la lunghezza caratteristica. Un valore molto basso del numero di Knudsen, dell’ordine di un centesimo, significa che in un certo volume intorno al corpo esiste un elevatissimo numero di molecole ed il fluido circostante può essere considerato continuo: ciò fa rientrare i problemi che sorgono nella reciproca azione fra mobile e mezzo circostante nella dinamica classica. Un valore elevato di detti numero, invece, indica che il corpo si trova in un ambiente rarefatto o discontinuo; si devono applicare allora i metodi della meccanica statistica.

Un caso particolare è rappresentato dalla condizione di ; questo requisito caratterizza un particolare regime delle correnti fluide, detto delle correnti slittanti dato che lo stato limite, strato di fluido di piccolissimo spessore nelle immediate adiacenze del corpo, slitta intorno al mobile.

Numero di Prandtl

Esso è un indice dello spessore strato limite viscoso rispetto a quello termico e, naturalmente, interviene nei problemi di trasmissione di calore. La sua espressione è:

45.7

in cui rappresenta il calore specifico a pressione costante e il coefficiente di conducibilità termica.

Numero di Froude

E’ un indice dell’importanza delle forze d’inerzia, agenti su una particella fluida, rispetto alla forza di gravità. Esso viene rappresentato in formula da:

46.7

da cui:

47.7

Il numero di Froude acquista significato nei problemi in cui il peso proprio di una massa fluida non può essere trascurato rispetto alle altre forze che agiscono come, per esempio, quella d’inerzia.

Numero di Nusselt

E’ di fondamentale importanza nei problemi di trasmissione del calore. Esso viene espresso dalla relazione:

48.7

in cui è la lunghezza caratteristica, il coefficiente di conducibilità termica e il coefficiente di trasmissione del calore. La possibilità di calcolare il flusso termico da una corrente ad un corpo o viceversa dipende dalla conoscenza di , che varia a seconda della forma del corpo, del numero di Mach, del tipo di moto, ecc.

Numero di Stanton

Fornisce un indice dell’importanza del calore scambiato fra ambiente e corpo. La sua espressione è:

49.7

Messo in relazione con altri numeri caratteristici il numero di Stanton diventa:

50.7