Si sono esaminati in altra sezione circuiti elementari con tensioni e correnti costanti nel tempo. Molti fenomeni, tuttavia, sono caratterizzati da grandezze elettriche variabili. Pur potendo essere qualsiasi la legge di variazione di tali grandezze, hanno particolare importanza le funzioni periodiche:

una funzione , si definisce periodica se si ripete ciclicamente nel tempo, come mostra la fig. 1.4:

Le grandezze che caratterizzano una funzione periodica, sono:

    il periodo ;
    la frequenza

Tra le varie grandezze variabili con legge periodica, una in particolare è detta alternata: essa è caratterizzata dall’avere valore nullo nel periodo, cioè nella rappresentazione grafica, fig. 2.4, presenta aree positive uguali alle aree negative:

Tra le funzioni alternate è di rilevante importanza quella sinusoidale, fig. 3.4:

I valori caratteristici di una funzione sinusoidale sono:

    l’equazione della curva, detta sinusoide, ;
    il valore massimo ;
    il valore medio nel periodo nullo, ;
    il valore efficace, , radice quadrata della media nel periodo dei quadrati dei valori istantanei.

In funzione del valore massimo , quello efficace è esprimibile nel modo seguente:

1.4 

Le reti di distribuzione dell’energia forniscono agli utenti tensione alternata di forma sinusoidale. La fig. 4.4, mostra un dispositivo per generare una tensione, quindi anche una corrente, sinusoidale: una bobina ruota in un campo magnetico uniforme con velocità angolare costante. L’angolo descritto nel tempo è:

2.4 

I due conduttori e di lunghezza , che costituiscono la bobina, si muovono nel campo magnetico d’induzione . Dalla fig. 5.4 può notarsi che, quando la velocità istantanea dei conduttori è perpendicolare alle linee d’induzione e la tensione generata assume il valore massimo. In tutti gli altri istanti, la tensione è data dalla seguente espressione:

3.4 

 Rappresentazione delle grandezze sinusoidali

Le grandezze sinusoidali possono essere rappresentate in forma trigonometrica ( grafica o analitica), vettoriale e simbolica.

Rappresentazione delle grandezze sinusoidali in forma trigonometrica grafica

La rappresentazione trigonometrica grafica di una grandezza sinusoidale è illustrata dalla fig. 6.4.

Si abbia infatti un segmento di ampiezza , il cui estremo sia collocato nel centro di un sistema di assi cartesiani ortogonali e ruotante nel piano in senso antiorario con velocità angolare . Se nell’istante , origine del tempo, il segmento si trova sull’asse , origine degli angoli , all’istante generico esso avrà descritto l’angolo . D’altronde, la proiezione del segmento sull’asse verticale vale:

4.4 

E’ così possibile asserire che i valori assunti istante per istante da una grandezza sinusoidale corrispondono ai valori risultanti come proiezioni sull’asse verticale di un segmento di ampiezza ruotante uniformemente con velocità angolare uguale alla pulsazione della grandezza sinusoidale data.

Quanto qui è stato esposto riguarda il caso particolare di una grandezza sinusoidale avente fase zero, che si presenta quando l’origine del tempo viene posto nell’istante in cui il segmento si trova adagiato sull’asse . Non sempre però ciò si verifica perché per molte grandezze sinusoidali l’origine non è arbitraria. Il caso generale, dunque, si ha quando l’istante posto come inizio del fenomeno risulta qualsiasi. Graficamente, la grandezza sinusoidale con fase diversa da zero, viene allora rappresentata come in fig. 7.4:

per la quale analiticamente vale la seguente espressione:

5.4

che differisce dalla 4.4 precedentemente vista perché nell’argomento del seno compare l’angolo , necessario per tenere conto che ora, per , il valore presentato dalla grandezza sinusoidale non è più zero ma quello corrispondente al segmento intercettato sull’asse verticale. L’angolo , misurato generalmente in gradi, mentre dovrebbe correttamente essere espresso in radianti, è denominato angolo di fase o anche, semplicemente, fase della grandezza sinusoidale. Naturalmente, anche in questo caso, è possibile considerare che i valori istantanei della grandezza sinusoidale siano uguali alle proiezioni sull’asse verticale di un segmento di ampiezza ruotante con la velocità angolare nel verso antiorario; solamente che ora, per , questo segmento non si troverà più sull’asse ma formerà con esso l’angolo . E’ importante sottolineare che nello studio delle correnti alternate, si presenta sovente il caso di dover trattare contemporaneamente con più grandezze sinusoidali. A tal proposito si considererà che le varie grandezze sinusoidali siano isofrequenziali fra loro, cioè tali da presentare la stessa frequenza o pulsazione . Anche l’ampiezza delle grandezze può essere diversa, così come la loro fase; si dice allora che una grandezza è in anticipo o in ritardo sull’altra e la differenza dell’angolo di fase è chiamato sfasamento. Ovviamente se lo sfasamento è zero le grandezze risulteranno in fase tra loro, se è si presenteranno in quadratura , se è esse si diranno in opposizione.

Rappresentazione delle grandezze sinusoidali in forma trigonometrica analitica

Nella rappresentazione trigonometrica analitica le grandezze sinusoidali sono descritte dalle espressioni 4.4 o 5.4; la prima se le grandezze sono in fase tra loro, la seconda se con fase diversa da zero.

Rappresentazione delle grandezze sinusoidali in forma vettoriale

La rappresentazione vettoriale di grandezze sinusoidali è illustrata dalla fig. 8.4:

Si è visto precedentemente che i valori istantanei di una grandezza sinusoidale possono essere ottenuti come proiezione, su un asse verticale, di un segmento la cui lunghezza è uguale al valore massimo della grandezza stessa, che ruota nel verso antiorario con velocità angolare . Nulla toglie alle conclusioni già viste se al segmento si sostituisce un vettore di modulo uguale al valore massimo, anch’esso ruotante con la stessa velocità angolare. La medesima cosa dicasi se le grandezze sono più di una: ciascuna di esse risulta rappresentata da un vettore ruotante, con la stessa velocità angolare se isofrequenziali o con la propria velocità se di frequenza diversa, in senso antiorario, avente un estremo nel centro del sistema di assi O, di modulo uguale all’ampiezza della propria sinusoide e formante con l’asse un angolo tale da rappresentare nell’istante il proprio angolo di fase. L’utilità della rappresentazione vettoriale delle grandezze sinusoidali risiede sia nella evidente visibilità della relazione delle loro fasi, sia nella facilità con cui possono essere eseguite le operazioni di somma e sottrazione tra esse, potendosi ricorrere alla semplice regola del parallelogrammo.

Rappresentazione delle grandezze sinusoidali in forma simbolica

Le rappresentazioni trigonometrica e vettoriale delle grandezze sinusoidali permettono la trattazione completa, sia qualitativa che quantitativa, dei problemi riguardanti le correnti alternate. Tuttavia va rilevato che:

    con i relativi metodi analitici, la soluzione numerica dei problemi, salvo qualche caso particolare, è
        molto lunga e laboriosa;
    con i relativi metodi grafici, viene introdotta una notevole imprecisione dovuta al tracciamento su
        carta delle grandezze stesse e quindi alla valutazione della lunghezza di segmenti ed apertura di
        angoli.

Per ovviare a tali inconvenienti si è introdotto un terzo metodo di rappresentazione delle grandezze sinusoidali, quello simbolico: le grandezze vengono trattate come entità numeriche per mezzo di quella parte della matematica che va sotto il nome di numeri complessi.

Si inizi a considerare in un piano, fig. 9.4, un sistema di coordinate cartesiane e, nello stesso piano, un vettore avente un estremo nel centro del sistema. Per individuare questo vettore è possibile fare ricorso ad un riferimento di cui l’asse orizzontale risulta graduato in unità reali ( i soliti numeri reali 1, 2, …), per questo motivo chiamato asse reale, e l’asse verticale graduato in unità immaginarie ( numeri immaginari j1, j2,..) denominato asse immaginario. In tale riferimento il vettore viene, per definizione, univocamente determinato dall’espressione:

6.4

essendo la sua componente lungo l’asse reale, detta perciò parte reale del vettore, e la componente lungo lasse immaginario, detta parte immaginaria del vettore. Il vettore viene così individuato dall’espressione 6.4 che la matematica definisce numero complesso.

Un numero complesso può quindi essere rappresentato graficamente con un vettore: precisamente con un vettore di modulo:

7.4 

ed argomento, cioè inclinazione rispetto all’asse reale:

8.4 

Il numero complesso posto nella forma 6.4 è espresso in forma detta binomia, ma osservando che, con l’uso della trigonometria, le componenti e possono essere indicate con:

9.4 

10.4

si ottiene anche la relazione:

11.4 

la quale esprime il numero complesso in forma trigonometrica. E’ importante notare che in un numero complesso esono quantità reali e che il simbolo risulta, per definizione:

12.4 

ed è denominato unità immaginaria. Essa gode della proprietà di trasformare in un numero immaginario qualsiasi numero reale (positivo o negativo) al quale essa venga preposto, ma anche di fare ruotare di 90° nel verso degli anticipi un qualsiasi vettore cui essa venga associata. Naturalmente, elevando al quadrato l’unità immaginaria, si ha:

13.4