Il volo uniforme su traiettoria inclinata dell'angolo di rampa sul piano orizzontale non è, a rigore, possibile in quanto variano lungo la traiettoria la densità dell'atmosfera ed il peso del velivolo, dovuto al consumo di carburante. Se si impone, quindi, che la velocità debba rimanere costante, l'assetto e la potenza devono variare continuamente affinché la traiettoria possa mantenersi rettilinea. Volando, invece, ad assetto costante, cioè a velocità indicata costante, la velocità effettiva sulla traiettoria deve variare continuamente. Da quanto detto, che sarà sufficientemente chiarito dallo sviluppo della trattazione, si deduce che il volo rettilineo su traiettoria inclinata è necessariamente vario ed il suo studio richiede l'introduzione, nelle equazioni di equilibrio, delle forze inerziali che inevitabilmente complicano lo studio del problema in esame.
In via esemplificativa, giustificata dal carattere didattico dell'esposizione, consideriamo il volo in salita con l'ipotesi di atmosfera a densità costante e velivolo con peso invariabile nel tempo.

Per determinare le caratteristiche del volo propulso su traiettoria inclinata, con le ipotesi richiamate alla fine del paragrafo precedente, basta scrivere le equazioni di equilibrio alla traslazione secondo la traiettoria e la direzione ad essa normale. Con riferimento alla fig. 1.6 tali equazioni sono espresse nel modo seguente:

Fig. 1.6 Disposizione delle forze agenti sul velivolo, in volo su traiettoria in salita.

1.6

Determinazione della velocità necessaria

La velocità che il velivolo deve avere sulla traiettoria di salita, detta pertanto necessaria, può essere ricavata dalla prima delle 1.6. Esprimendo la portanza in forma aerodinamica si ha:

2.6

La velocità sarà pertanto calcolabile con la:

3.6

Quest'ultima relazione può essere posta nella forma:

4.6

in cui rappresenta la velocità che il velivolo avrebbe in volo orizzontale allo stesso assetto ed alla medesima quota della salita. La 4.6 esprime la circostanza che nel volo in salita occorre una velocità minore di quella su traiettoria orizzontale a pari assetto e quota, perché essa deve dar luogo ad una portanza che equilibri la sola componente e non tutto il peso , come avviene in volo orizzontale.

Determinazione della trazione necessaria

La trazione necessaria, affinché il velivolo mantenga sulla traiettoria la velocità , può essere ricavata dalla seconda delle 1.6 che, sostituendo alla resistenza la corrispondente espressione aerodinamica, assume la forma:

5.6

L'efficienza del velivolo sulla traiettoria di salita è esprimibile dalla:

6.6

Ricavando dalla 6.6 e sostituendolo nella seconda delle 1.6, si può valutare la trazione necessaria anche con la:

7.6

Per istituire un confronto tra la trazione necessaria in salita e l'equivalente su traiettoria orizzontale a pari assetto e quota , moltiplichiamo e dividiamo il secondo addendo al secondo membro della 7.6 per ottenendo la:

8.6

Nella 8.6, anche per molto piccoli, il termine in parentesi assume valori maggiori dell'unità, da cui si deduce che per volare su traiettoria in salita occorre una trazione maggiore di quella che sarebbe necessaria in orizzontale a pari assetto.

Calcolo della potenza necessaria

La potenza necessaria per volare su una traiettoria in salita è il prodotto della trazione necessaria per la velocità necessaria , esprimibile con la relazione:

9.6

Tenendo conto delle 4.6 e 8.6, la 9.6 assume la forma:

10.6

11.6

Secondo quanto indicato dalla 11.6 è possibile affermare che per portare il velivolo da A a B (fig. 3.6) situati a quota zero e rispettivamente, occorre una potenza somma di quella necessaria per volare in orizzontale, allo stesso assetto della salita, da A a C e quella necessaria per sollevare il velivolo da C a B con velocità . Da notare che nello sviluppo della 11.6 alla resistenza che il velivolo incontra sulla traiettoria è stato sostituito il valore . Infatti, esprimendo aerodinamicamente la resistenza e ricordando la 4.6 si ha:

12.6

la quale esprime la circostanza che a pari assetto e quota la resistenza sulla salita è minore della corrispondente su traiettoria orizzontale, in quanto la velocità è minore.

Pendenza della traiettoria

13.6

Dalla relazione appena ricavata, in cui al posto della trazione necessaria è stata sostituita quella che il propulsore deve fornire per bilanciarla (), si può dedurre che la massima pendenza della traiettoria, espressa dalla:

14.6

si ha in corrispondenza della massima differenza tra la curva della trazione disponibile e quella della resistenza al volo. In fig. 4.6 è illustrato il caso di un turboreattore.

Nella 14.6 è stato considerato, come solitamente avviene, il peso costante; se, invece, non è possibile ritenerlo tale la massima pendenza si ha in corrispondenza del valore espresso dalla:

15.6

E’ il caso di notare che il valore che compare nelle espressioni 13.6, 14.6 e 15.6 è funzione della pendenza della rampa, come indica la 12.6. La risoluzione delle equazioni per la determinazione della pendenza della traiettoria, può ottenersi per via analitica o numerica.

     Illustriamo il procedimento analitico.

L'equazione 13.6 scritta nella forma:

16.6

in base alla 12.6 diventa:

17.6

18.6

la 17.6 diventa:

19.6

Eliminando i denominatori si perviene alla:

20.6

     Occupiamoci ora della risoluzione numerica.

Riscriviamo l’equazione 16.6, in base alla 12.6, nella forma:

Come può notarsi, l’incognita compare sia al primo che al secondo membro. Alla soluzione numerica di questa equazione, e di tutte quelle simili, si perviene applicando un metodo detto iterativo o passo-passo. Esso consiste nell’imporre all’incognita al secondo membro il valore nullo e risolvere l’equazione. Si ricava un valore ; questo è il primo passo. Il successivo passo consiste nel sostituire a al secondo membro e risolvere nuovamente l’equazione. Si perviene ad un nuovo valore . Il procedimento continua fino a che i valori e di due passi successivi coincidono o differiscono di una quantità inferiore o uguale al grado di approssimazione prefissato. La delicatezza del metodo consiste nella probabilità che esso possa essere divergente, cioè che aumenti; in tal caso occorre abbandonare questo tipo di risoluzione. Generalmente, però, il metodo è rapidamente convergente, diminuisce, e bastano pochi passi per arrivare alla soluzione.

In funzione della potenza l'angolo di rampa può essere determinato in base alla relazione 21.6, ricavata dalla 11.6 posta nella forma:

21.6

per la quale valgono le stesse considerazioni fatte precedentemente in quanto anche dipende dalla pendenza della traiettoria. In base alla 21.6 il massimo valore di , nell'ipotesi di peso e velocità sulla traiettoria costanti, è ricavabile con l'espressione:

22.6

Se l'ipotesi di costanza dei parametri citati non è applicabile è valutato con la relazione:

23.6

Determinazione della velocità ascensionale

La componente verticale della velocità sulla traiettoria, fig. 2.6, può essere valutata utilizzando l'espressione 11.6 nelle forme espresse dalle:

24.6

in cui la seconda è da considerarsi in un calcolo di prima approssimazione, quando non è nota la pendenza della traiettoria. E’ facile dedurre da queste relazioni che la massima velocità ascensionale consentita al velivolo si ha, in prima approssimazione e nell'ipotesi di peso costante, in corrispondenza della massima differenza tra la potenza disponibile e necessaria, come indica la:

25.6

Un'analisi più accurata impone l'impiego della prima delle 24.6, da cui può ricavarsi la relazione:

26.6

In fig. 5.6 è mostrato il caso di una motoelica;

Fig. 5.6 Assetto di massima velocità ascensionale o di massima salita.

La possibilità di valutare per ogni pendenza la corrispondente velocità sulla traiettoria e le relative componenti orizzontale (u) e verticale (w), viene offerta dal diagramma , fig. 6.6, denominato polare della velocità, dal quale si possono trarre utili considerazioni.

Da esso, infatti, è possibile dedurre che:

     ogni vettore uscente dall'origine, come , rappresenta la velocità necessaria su una
          traiettoria inclinata sull'orizzontale;

     il vettore rappresenta la velocità massima del velivolo su traiettoria orizzontale
         

      il vettore rappresenta la velocità di stallo del velivolo si traiettoria orizzontale
          ;

     il vettore rappresenta la velocità di massima salita (o SALITA RAPIDA) a cui
         corrisponde la massima velocità ascensionale con una pendenza della traiettoria minore
         di quella massima;

     il vettore rappresenta la velocità di massima pendenza (o SALITA RIPIDA), a cui
         corrisponde una velocità ascensionale minore del valore massimo ed una traiettoria di
         massima pendenza .

Da notare come l'assetto di salita rapida sia meno cabrato, quindi di maggiore velocità sulla traiettoria, di quello relativo alla salita ripida .

Generalmente questi assetti caratteristici del volo in salita vengono determinati con precisione mediante prove di volo, ma sono suscettibili anche di una valutazione analitica rigorosa anche se talvolta laboriosa.

Influenza del tipo di propulsore sulle caratteristiche di salita

Da quanto esposto nei paragrafi precedenti risulta che il volo su traiettoria in salita è dipendente dalle caratteristiche di potenza del propulsore adottato dal velivolo; passiamo, quindi, in rapida rassegna i tipi di propulsori più comunemente usati.

Motoelica a passo fisso e motore normale

La SALITA RAPIDA si ha ad un assetto situato nell'intorno di quello di efficienza massima, maggiore o minore a seconda del funzionamento dell'elica; in particolare meno cabrato, quindi più veloce, di quello di , fig. 7.6 se l'elica è stata progettata per dare il massimo rendimento alla massima velocità.

La SALITA RIPIDA si ha ad un assetto più cabrato, quindi meno veloce, di quello di massima efficienza, grazie alla caratteristica che la spinta del propulsore in esame aumenta con il diminuire della velocità.

La massima velocità verticale , funzione del massimo supero di potenza disponibile rispetto a quella necessaria ( 24.6) alle varie quote, decresce quasi linearmente dal valore massimo a quota zero fino alla quota massima raggiungibile, a cui è praticamente nulla.

L'esperienza insegna che conviene fare graficamente la determinazione degli assetti particolari di salita a causa della variabilità del rendimento dell'elica.

Motoelica a passo fisso con motore di quota

Se la motoelica è provvista di un motore di quota, la caratteristica del volo maggiormente influenzata è la velocità ascensionale che, contrariamente al caso precedente, rimane quasi costante da quota zero fino a quella di ristabilimento, per poi decrescere come per un motore normale. Gli assetti di SALITA RAPIDA e SALITA RIPIDA restano praticamente gli stessi.

Motoelica a passo variabile in volo

La SALITA RAPIDA si realizza in corrispondenza dell'assetto di minima potenza o massimo indice di quota . Infatti, la potenza disponibile, alla quota generica , è esprimibile dalla relazione:

27.6

Ricavando dalla 17.5 la potenza motrice e sostituendola nella 27.6 si ottiene la:

28.6

Uguagliando questa potenza a quella necessaria al volo in salita, espressa dalla 11.6, si ottiene la:

29.6

Da questa relazione, ricordando che in volo orizzontale , si ricava la velocità ascensionale espressa dalla relazione:

Dalla 30.6, nell'ipotesi di rendimento dell'elica costante, resa attendibile dall'impiego dell'elica a p.v.v., si deduce quanto affermato all'inizio circa l'assetto di salita rapida ed espresso dalla relazione:

Ricordiamo che questa formula non è rigorosamente esatta, in quanto nell'uso della 11.6 abbiamo supposto . La , se il motore è normale, decresce costantemente con l'aumento della quota, con motore di quota, invece, rimane quasi costante fino alla quota di ristabilimento, per poi diminuire fino a ridursi a zero. L'assetto di SALITA RIPIDA si ha ad un assetto compreso fra quello di minima potenza e quello di stallo. Quanto detto è sintetizzato nella fig. 8.6.

Turboreattore

Ricordando l'espressione 19.5, la potenza disponibile del turboreattore alla quota generica è esprimibile dalla relazione:

Indicando con il prodotto , la 32.6 può scriversi nel modo seguente:

Uguagliando questa potenza a quella necessaria nel volo in salita, espressa dalla 11.6, otteniamo:

Nella stessa ipotesi di validità della 11.6 , dalla 34.6 può ricavarsi la espressa da:

35.6

Per determinare l'assetto di SALITA RAPIDA, occorre trovare i valori di e che rendono nulla la derivata , ossia massima la . Generalmente tale assetto è leggermente meno cabrato, quindi più veloce, di quello di minima trazione , a cui tende all'aumentare della quota, fig. 9.6. Anche per il turboreattore la decresce con la quota, ma più lentamente della motoelica a p.v.v.

La SALITA RIPIDA si ha per l'assetto corrispondente al valore massimo dell'angolo di rampa espresso dalla 15.6, che in prima approssimazione, assumendo, prende la forma:

36.6

dalla quale si deduce che la salita ripida si ottiene per l'assetto di massima efficienza, fig. 9.6. Da quanto si è detto precedentemente si evince che il velivolo con turboreattore ha le sue migliori caratteristiche di salita (RAPIDA e RIPIDA) a velocità più elevate rispetto a quelle del velivolo con motoelica a passo variabile in volo.

Fig. 9.6 Assetti caratteristici di salita di un turboreattore.

Turboelica

Il velivolo con turboelica ha caratteristiche di salita (RAPIDA e RIPIDA) intermedie fra quelle della motoelica a p.v.v. e quelle del turboreattore. Poiché la potenza della turboelica aumenta notevolmente con la velocità, pur essendo già abbastanza elevata alle basse velocità, gli assetti di migliore salita sono spostati verso velocità maggiori rispetto a quelle della motoelica a p.v.v. Anche a basse velocità la turboelica presenta buone caratteristiche di salita, che sono una delle principali prerogative di questo tipo di propulsore.

Quota di tangenza

Si definisce quota di tangenza la massima quota raggiungibile dal velivolo. Analizzando l'andamento dei grafici della potenza disponibile () e necessaria () alle diverse quote, si nota che al crescere di i superi di potenza (o di trazione, per il turboreattore) diminuiscono fino a diventare nulli alla quota alla quale le curve sono tangenti, fig. 10.6: da ciò la denominazione di quota di tangenza. A tale quota è possibile il solo volo orizzontale ad un solo assetto: quello individuato dal punto di contatto, alla velocità . Una conferma può aversi dalle 24.6, le quali evidenziano che, annullandosi il supero di potenza disponibile su quella necessaria, la velocità ascensionale si annulla. Avvicinandosi alla quota di tangenza la tende a zero, quindi, la continuazione della salita sarebbe possibile solo in aria perfettamente calma, impiegando per raggiungerla un tempo infinito. Questa circostanza giustifica la definizione che è data a tale quota di tangenza teorica. Nell'atmosfera piccole raffiche con componente verticale di velocità di 0.3 0.4 sono normali, perciò quando la diventata di questo ordine di grandezza la salita non è più praticamente possibile, poiché non dipende più solo dalla volontà del pilota ma anche dalle condizioni atmosferiche. Sorge ,allora, la necessità di stabilire la quota massima raggiungibile in condizioni normali o quota di tangenza pratica. Essa è fissata alla quota alla quale la velocità ascensionale del velivolo si è ridotta al valore di 0.5 . Nelle note che seguono sarà esaminata l'influenza del tipo di propulsore sulla quota di tangenza teorica.

Motoelica con elica a passo fisso

L'assetto ottimo per salire alla quota di tangenza è lo stesso della salita rapida visto in precedenza, cioè a velocità leggermente superiori a quelle di . Conviene fare graficamente la determinazione della quota di tangenza a causa della variabilità del rendimento dell'elica. Il motore di quota, rispetto a quello normale, eleva la quota di tangenza ma non altera l'assetto per raggiungerla.

Motoelica con elica a passo variabile in volo

Il motore di quota, a parità di potenza a quota zero, poiché comincia a diminuire dalla quota di ristabilimento, eleva la quota di tangenza tanto più quanto più alta è la quota di ristabilimento stessa.

Turboreattore

Poiché la velocità sulla traiettoria non può annullarsi, in quanto si avrebbe assenza di moto, la 41.6 è verificata se:

Dalla 42.6 si può ricavare , termine influenzato dalla quota, e si ottiene:

43.6

Ricordando che diminuisce con la quota, esso assumerà il valore minimo alla quota di tangenza in corrispondenza dell'assetto di come indica la:

44.6

Come per la salita, anche ai fini della tangenza, questo tipo di propulsore ha caratteristiche intermedie tra la motoelica a p.v.v. e un turboreattore. Per uno studio analitico più approfondito occorre considerare la motoelica equivalente o il turboreattore equivalente e procedere nel modo illustrato nei paragrafi precedenti. Per la valutazione della tangenza pratica, sia della motoelica che del turboreattore, si possono utilizzare le stesse relazioni usate per la determinazione di quella teorica (25.6 e 30.6), imponendo gli assetti ricavati precedentemente e per la velocità ascensionale il valore 0.5. La quota alla quale la uguaglia il valore prefissato, rappresenta la tangenza pratica. Il procedimento di calcolo appena illustrato è, però, meno immediato del caso della tangenza teorica, esigendo una risoluzione numerica delle equazioni utilizzate, ossia la determinazione dell'andamento ed individuando la quota a cui .

Determinazione delle velocità minima e massima in volo orizzontale uniforme a quota costante.

Le velocità minima e massima, a ciascuna quota, vengono individuate dai punti di intersezione dei grafici della potenza disponibile e necessaria relativi a quella quota, fig. 11.6.

Fig. 11.6 Individuazione grafica delle velocità minima e massima, sulle curve delle potenze a quota   costante.

In corrispondenza di e è possibile solo il volo orizzontale in quanto è verificata la condizione . A velocità inferiore alla o superiore alla il velivolo non può volare in orizzontale per mancanza di potenza disponibile. A quote relativamente basse il grafico presenta, nel campo delle basse velocità, ordinate superiori a quelle del grafico ; i due grafici hanno, quindi, un solo punto in comune, ad assetti molto piccoli, che individua il valore della velocità massima. Finché ciò si verifica la velocità minima di volo è imposta soltanto da ragioni aerodinamiche (stallo), calcolabile con la nota formula:

45.6

bisogna, però, ridurre l'ammissione del motore; tale riduzione del regime del motore è richiesta finché si è a quote inferiori a quelle corrispondenti ai valori:

46.6

ottenute eguagliando potenza necessaria e disponibile e valide per la motoelica (a) ed il turboreattore (b) rispettivamente. Oltre la quota espressa dalla 46.6 i due grafici e hanno due punti in comune e la velocità minima, quindi, è regolata dalle caratteristiche di potenza del propulsore ed è superiore alla minima aerodinamica; essa è calcolabile imponendo l'equilibrio tra potenza disponibile e necessaria come espresso dalla 47.6:

47.6

Esplicitando la , in funzione del tipo di propulsore, dalla 47.6 risulta la:

48.6

E’ il caso di notare che l'uso della 48.6 non è agevole in quanto sia la potenza disponibile che l'assetto sono funzioni della velocità; non essendo, quindi, noti alla velocità minima, la 48.6 può essere risolta solo numericamente. Tale soluzione consiste nel calcolare la velocità di volo in corrispondenza di vari assetti, nell'intorno dell'assetto di stallo, ed individuare tra queste quella più bassa. Generalmente la soluzione grafica è la più rapida: essa consiste nel tracciare, nella stessa scala, i grafici delle potenze (disponibile e necessaria), sovrapporli ed individuare il punto di intersezione nel campo delle basse velocità. Il metodo grafico è idoneo anche per la determinazione della velocità massima, che analiticamente può essere calcolata ipotizzando che sia costantemente uguale al suo valore minimo . L'approssimazione fatta equivale a trascurare la potenza indotta , fig. 5.6, proporzionale all'inverso della velocità, e ritenere che tutta la potenza richiesta alle alte velocità sia dovuta alla potenza di penetrazione o passiva. Con l'ipotesi fatta, uguagliando potenza necessaria e disponibile, la velocità massima è calcolabile con la:

49.6 a)

per una motoelica a passo variabile in volo (), oppure, per il turboreattore con la:

49.6 b)

La 49.6 a) mette in evidenza la dipendenza della dalla potenza superficiale e dal fattore di quota . Se il motore accoppiato all'elica è normale la velocità massima assoluta si ha al suolo, in quanto assume il valore massimo, e decresce progressivamente fino a ridursi alla alla quota di tangenza teorica. Con motore di quota, poiché cresce leggermente fino alla quota di ristabilimento, grazie al migliore rendimento del compressore, la velocità massima si ha a tale quota per poi seguire un andamento decrescente come per il motore normale. La 49.6 b) mostra che, per i turboreattori, la è proporzionale alla spinta superficiale ed al fattore di quota . Poiché , con l'aumento della quota, si mantiene leggermente più grande di , si potrebbe dedurre che la cresca con la quota; in realtà tale aumento è solo apparente in quanto al crescere della velocità diventano rilevanti i fenomeni comprensibili per cui cade l'ipotesi () posta alla base della trattazione. Anche per i turboreattori, quindi, la velocità massima, pur essendo ad ogni quota superiore a quella della motoelica, decresce progressivamente fino alla tangenza teorica a cui eguaglia la .

Determinazione del tempo di salita

Il tempo di salita assume un certo rilievo solo se ci si riferisce a quello minimo necessario per coprire un determinato intervallo di quota. La sua determinazione viene condotta in base alla conoscenza della funzione espressa dalla 31.6 o dalla derivata della 35.6, per la motoelica o turboreattore rispettivamente. Infatti, nota tale finzione, il tempo che occorre per coprire la distanza verticale alla velocità è espresso dalla relazione 50.6:

50.6

Il tempo totale per salire da quota zero alla quota generica z, è espresso dall'integrale della 50.6:

51.6

In base a quanto detto, il tempo per salire alla quota di tangenza teorica non può essere una caratteristica del velivolo; per questo motivo si introduce la tangenza pratica definita precedentemente. La risoluzione della 51.6, oltre che analiticamente, può eseguirsi, in modo più semplice, numericamente nel modo seguente: suddiviso il dislivello di quota in intervalli , tali che in essi la possa ritenersi costante, in ogni intervallo si può calcolare il tempo di salita con la relazione . Il tempo totale sarà la somma dei tempi parziali calcolati precedentemente. Il calcolo dei tempi di salita fatto con i metodi illustrati in questo paragrafo, è scarsamente approssimato, soprattutto per velivoli veloci ed alte quote. Basta ricordare in proposito che, contrariamente a quanto fino ad ora supposto, ad assetto costante il peso e la velocità sono variabili lungo la traiettoria e la loro influenza sulla velocità ascensionale e sui tempi minimi di salita diventa sempre più rilevante al crescere della velocità e della quota. Ritenendo, infatti, la velocità sulla traiettoria non più costante, la seconda delle 1.6 diventa:

52.6

dove rappresenta la forza d’inerzia corrispondente all'accelerazione in atto. Indicando con lo spazio percorso sulla traiettoria si ha:

53.6

La 52.6, quindi, diventa:

54.6

L'effetto della variazione di velocità lungo la traiettoria si traduce in un termine inerziale che, in funzione della variazione di , può sommarsi o sottrarsi alla trazione. Se, ad esempio, si vuole volare ad assetto costante, a parità di peso e pendenza della traiettoria, poiché la velocità indicata è costante, si ha:

55.6

56.6

Poiché, inoltre, fig. 13.6, , la 56.6

In definitiva la 54.6, in base alla 57.6, diventa:

58.6

Come può notarsi, il termine inerziale, in parentesi quadra, cresce col quadrato della velocità e con la quota; ad esempio alla velocità di 150 = 540 alla quota di 12000 è pari a circa il 60% del peso W. Ciò spiega come per i moderni aviogetti, non si possa assolutamente trascurare tale influenza nella determinazione della velocità ascensionale e tempi minimi di salita.

Rappresentazione grafica delle prestazioni di un velivolo