Equazioni del moto

Si consideri un velivolo in volo alla quota generica z su una traiettoria rettilinea orizzontale con velocità costante, fig. 1.4. Le equazioni di tale moto sono le 7.2, caso particolare del moto longitudinale-simmetrico con angolo di rampa nullo e velocità costante, che riportiamo:

1.4

In esse, come noto, e sono rispettivamente l'angolo di incidenza e di calettamento del propulsore, valutati rispetto alla direzione dell'asse corpo X, fig. 6.2. L'incidenza , per i vari regimi di volo orizzontale uniforme stabile, dovendo essere inferiore a quella critica di stallo, non supera i 12° ¸ 16° e l'angolo di calettamento dell'asse della spinta per velivoli convenzionali, è molto piccolo 2° ¸ 3°. Si può, quindi, ritenere l'angolo () piccolo, tale da considerare:

2.4

In base alle 2.4, le 1.4 diventano:

3.4

Supponendo il velivolo equilibrato alla rotazione di beccheggio (), l’asse della spinta passante per il baricentro () ed il peso costante, delle tre equazioni 3.4 si considerano solo le prime due:

4.4

le quali possono ottenersi anche direttamente dall'analisi della fig. 1.4 e rappresentano le equazioni di equilibrio dinamico del moto rettilineo orizzontale uniforme. L’ipotesi di peso costante, fatta in precedenza, non è rigorosamente esatta se si pensa che durante il volo c’è consumo di combustibile ma, essendo il peso di quest’ultimo molto inferiore di quello totale, l’errore che si commette trascurandolo è accettabile. A rigore non è vera anche l’altra ipotesi di momento della spinta nullo; spesso, infatti, esso concorre al bilanciamento totale del velivolo, sottraendo questo compito alle superfici aerodinamiche che conservano così inalterata la loro efficacia. Il valore del momento della spinta, però, è piccolo rispetto a quelli delle azioni aerodinamiche, perciò trascurarlo non inficia i risultati successivi.

Determinazione della velocità necessaria

La velocità necessaria è la velocità che il velivolo deve possedere affinché, a quota ed incidenza costanti, possa prodursi una portanza idonea a sostenerlo e mantenerlo in volo orizzontale. La velocità necessaria, indicata con , può ricavarsi dalla seconda delle 4.4 e risulta espressa dalla seguente equazione:

5.4

    ad assetto costante, deve aumentare con la quota, per compensare la diminuzione della densità
         del fluido;
     a quota costante, decresce all'aumentare dell'assetto.

Poiché, però, esiste una limitazione fluidodinamica (stallo) all'aumento indefinito dell'assetto, la velocità necessaria in volo uniforme rettilineo non può essere inferiore al valore espresso dalla:

6.4

Si noti come anche la aumenti al crescere della quota, assumendo per ognuna un valore ben definito.

Determinazione della trazione necessaria a quota costante

Per mantenere la velocità necessaria al volo orizzontale occorrerà vincere una forza totale, che chiameremo trazione necessaria ed indicheremo con , espressa, in base alla prima delle 4.4, dalla:

7.4

Come può notarsi, la trazione necessaria, corrispondente alla resistenza aerodinamica che il velivolo incontra nel moto, è indipendente dalla quota essendo solo funzione del peso e dell'efficienza.

In particolare la :

     cresce all'aumentare del peso del velivolo;
     diminuisce se migliora l'efficienza aerodinamica.

Esiste anche per la trazione necessaria un valore minimo ottenibile all'assetto di come espresso dalla:

8.4

Costruzione del grafico o a quota costante

Le equazioni 5.4 e 7.4 evidenziano che la velocità necessaria e la trazione necessaria dipendono entrambe dall’assetto; si può da ciò far discendere la dipendenza della trazione necessaria dalla velocità necessaria. Il grafico che fornisce i valori della trazione necessaria in funzione della velocità necessaria, fig. 2.4, può essere ricavato facilmente dalla polare di equilibrio del velivolo determinando, per ciascun punto di essa, cioè per ciascun assetto, i valori di e ed in base alle 5.4 e 7.4 la velocità e la trazione necessarie corrispondenti.

Vediamo più in dettaglio da cosa è costituita la resistenza totale che il velivolo incontra durante il volo e che deve essere equilibrata dalla trazione dei propulsori, denominata trazione disponibile. Ipotizzando valida la polare di Prandtl, dalla prima delle 4.4, sostituendo e semplificando, discende:

9.4

La trazione necessaria assume il valore minimo alla velocità alla quale resistenze passive ed indotte sono uguali. Per dimostrare l'asserto basterà determinare i valori delle resistenze (passiva ed indotta) in corrispondenza della derivata prima nulla della 9.4. Infatti:

10.4

La che soddisfa la 10.4 è la velocità, indicata con nella fig. 3.4, alla quale il velivolo incontra la minima resistenza al volo; a tale velocità occorre la minima trazione disponibile per equilibrarla. è ricavabile dalla 10.4 ed è espressa da:

Potenza necessaria a quota costante.

La potenza necessaria al volo orizzontale uniforme a quota costante è il prodotto della trazione necessaria per la velocità necessaria richiesta dal velivolo per il sostentamento a quella quota. Essa dipende esclusivamente dalle caratteristiche del velivolo e dalle sue condizioni di moto. Il propulsore istallato dovrà essere in grado di produrre una potenza, detta potenza disponibile, sufficiente ad equilibrarla. In base alle 5.4 e 7.4 la potenza necessaria è espressa dalla:

11.4

la quale mostra la dipendenza dalla quota, dalle caratteristiche del velivolo e dal suo assetto. La 11.4 mette anche in evidenza che la potenza necessaria al volo rettilineo orizzontale uniforme a quota costante assume un valore minimo in corrispondenza dell'assetto detto massimo indice di quota, come mostra la:

12.4

Costruzione del grafico a quota costante

Come visto per il grafico , anche quello della potenza necessaria può essere costruito partendo dalla polare d’equilibrio del velivolo. Infatti, per ciascun assetto della polare, possono essere dedotti i fattori:

ai quali potenza e velocità sono rispettivamente proporzionali secondo le 5.4 e 11.4. Ne deriva il grafico rappresentato dalla fig. 4.4:

Anche la potenza necessaria, come la trazione necessaria, può considerarsi costituita dalla somma di due contributi: potenza di profilo o passiva e potenza indotta. Infatti, moltiplicando i due membri della 9.4 per la velocità necessaria si ottiene:

13.4

dalla quale si deduce che la potenza passiva cresce con mentre quella indotta diminuisce con . La rappresentazione grafica della 13.4 è illustrata dalla fig. 5.4. Si dimostra facilmente che la potenza necessaria assume il valore minimo alla velocità alla quale la potenza indotta è tripla di quella passiva. Infatti, con procedimento analogo a quello seguito per determinare la 10.4 si ha:

14.4

La velocità di minima potenza, indicata con in fig. 5.4, è ricavabile dalla 14.4 ed espressa dalla:

Polare d’equilibrio o sperimentale.

Nella costruzione delle curve delle figg. 2.4 e 4.4 si è supposto di disporre della polare d’equilibrio del velivolo, cioè del luogo dei punti scelti ciascuno sulla polare relativa al velivolo che abbia il piano di coda ruotato dell'angolo che, all'assetto considerato, garantisce l'equilibrio dei momenti intorno al baricentro, fig. 6.4. Occorre notare che la polare d’equilibrio o sperimentale è influenzata dai numeri di Reynolds () e Mach (), che variano con la velocità e la quota di volo. Poiché anche i valori dei coefficienti aerodinamici e dipendono, entro certi limiti, da e , è necessario che la polare di equilibrio sia quella relativa alle reali condizioni di e di volo.

Correzione dei grafici e

Le curve, e dei paragrafi precedenti, sono state ottenute considerando la polare di Prandtl , la quale perde validità sia alle incidenze critiche (quelle prossime allo stallo) che alle alte velocità alle quali non tiene conto della resistenza dovuta alla compressibilità del fluido. Da notare che l'uso della polare di Prandtl, in luogo di quella d’equilibrio, è giustificato solo in prima approssimazione e se non si conosce quella reale.

Ritornando alla discussione in oggetto, le correzioni da apportare alle curve della trazione e della potenza necessarie, per tenere conto delle limitazioni dovute alla teoria di Prandtl, sono sinteticamente illustrate dalle figg. 7.4 a, 7.4 b, 8.4 e 9.4. Le figg. 7.4 a e 7.4 b mostrano le modifiche subite della retta di portanza e dalla polare, dovute alle limitazioni precedentemente accennate. Alle basse incidenze, cioè per < , l'andamento reale della portanza e resistenza (tratto continuo) è praticamente coincidente con quello determinato con la teoria di Prandtl. Notevoli sono invece le differenze tra caso teorico (tratto discontinuo) e pratico alle incidenze prossime allo stallo, vale a dire per > . Infatti, l'insorgenza dei fenomeni legati al distacco della vena fluida dalle superfici del velivolo (stallo) provoca un abbassamento del , fig. 7.4 a, ed un aumento notevole della resistenza, fig. 7.4 b. Se pertanto si sostituisce nella 6.4 il coefficiente di portanza massimo reale in luogo di quello massimo teorico, si riscontra, a parità di tutte le altre condizioni, un aumento della velocità minima di sostentamento. L'applicazione di questo discorso, a tutte le condizioni di volo ad assetti superiori al , comporta nei rami di sinistra delle figg. 8.4 e 9.4, le variazioni illustrate, per la trazione e la potenza rispettivamente.

La seconda correzione riguarda i regimi di volo alle velocità superiori a quella critica , alle quali diventano sensibili gli incrementi di resistenza dovuti alla compressibilità. Infatti, alle velocità supercritiche alla

resistenza in regime incompressibile , occorre sostituire quella espressa dalla relazione:

15.4

in cui (M) esprime la resistenza di compressibilità, funzione del numero di Mach.

A causa di questa nuova resistenza, a parità di velocità di volo, la resistenza totale è maggiore, quindi maggiore è anche la potenza necessaria, come mostrano i rami di destra delle figg. 8.4 e 9.4.

Considerazioni sui diagrammi e

In base ai procedimenti descritti precedentemente per la costruzione dei grafici di figg. 2.4 e 4.4, relativi all'andamento della trazione necessaria e potenza necessaria rispettivamente, si può affermare che ogni punto di tali curve rappresenta un angolo d'incidenza di valore sempre crescente spostandosi da destra a sinistra, come mostrano le figg. 10.4 e 11.4. Sui grafici precedenti possono essere individuati assetti particolari, corrispondenti al volo:

     alla velocità minima di sostentamento (1);
     alla velocità massima consentita dalla trazione o potenza istallata (3);
     alla trazione necessaria minima (2);
     alla potenza necessaria minima (4).

Sui grafici di figg. 10.4 e 11.4 possono anche essere indicate le rette =cost., rappresentate dalle parallele all'asse delle ascisse nel primo e da rette uscenti dall'origine ed inclinate rispetto all'asse delle ascisse stesse, nel secondo. È facile comprendere quanto descritto, se riferito alla fig. 10.4; dimostriamo, invece, che qualunque retta uscente dall'origine degli assi del diagramma , fig. 12.4 è rappresentativa di un particolare valore costante della trazione. Infatti, considerando il triangolo rettangolo OCA ed indicando con , e la potenza, la trazione e la velocità necessaria all'assetto corrispondente al punto A, discende che:

16.4

Analogo ragionamento applicato al punto B conduce alla:

17.4

Essendo = cost. si deduce che === cost. In base a quanto detto, tra tutte le rette = cost. esiste quella corrispondente al valore minimo che in fig. 10.4 è rappresentata dalla retta orizzontale tangente alla curva nel punto 2 ed in fig. 11.4 dalla retta uscente dall'origine e tangente alla curva nel punto 5, in accordo con la:

18.4

Notiamo, inoltre, che l'assetto corrispondente ai punti di tangenza appena individuati (2), è quello di com’espresso dalla 8.4. Il diagramma si presta anche ad un'ultima considerazione di rilevante importanza. Il punto C di minima potenza della fig. 13.4 divide la curva in due rami, caratteristici di due regimi di volo diversi:

a) lento - instabile

Il problema della stabilità è trattato diffusamente in altra parte, vediamone però qui il significato fisico per una migliore comprensione del concetto che vogliamo illustrare. Una generica condizione di volo è stabile se, modificata da una qualunque perturbazione, tende ad autoripristinarsi, cioè il velivolo torna spontaneamente alla condizione di volo originaria.

Ritornando al discorso in esame, fig. 13.4, supponiamo di sovrapporre alla curva quella relativa alla potenza sviluppata dal sistema propulsivo istallato sul velivolo, detta potenza disponibile e di cui si parlerà successivamente, alle varie velocità di volo.

Poiché, nel volo rettilineo orizzontale uniforme deve costantemente verificarsi l'uguaglianza tra la potenza necessaria e disponibile,

19.4

dalla fig. 13.4 si deduce che la 19.4 è verificata per due regimi di volo, uno lento (assetto A) e l'altro veloce (assetto B). Dimostriamo che il regime lento è instabile e quello veloce stabile.

Prendiamo in esame la condizione di volo A e supponiamo che, per una qualunque causa, l'incidenza aumenti (A' ); il velivolo tende a rallentare () e poiché al nuovo assetto corrisponde una potenza disponibile minore di quella necessaria (), il rallentamento sarà progressivo ed inarrestabile fino allo stallo del velivolo. Se l'incidenza, invece, diminuisce (A'') la velocità aumenta costantemente () fino al valore massimo (), perché la potenza disponibile () è sempre eccedente rispetto a quella necessaria (). In entrambi i casi, l’incidenza , una volta modificata, non ritorna mai più al valore originario se non attraverso l'intervento del pilota; questa condizione di volo è detta instabile.
Con analogo ragionamento si può dimostrare che la condizione B è di volo stabile. Infatti, se la velocità tendesse a diminuire (), in conseguenza di un aumento d’incidenza (), il supero di potenza disponibile () riporterebbe la velocità al valore iniziale. Un aumento, invece, della velocità iniziale () sarebbe contrastato dalla mancanza di potenza disponibile (); per questa particolare tendenza a non modificarsi, la condizione di volo B è detta stabile.

Influenza della quota sulla trazione necessaria

Lo scopo del seguente paragrafo è quello di illustrare come il diagramma di fig. 2.4 si modifica al variare della quota. L'effetto della quota sulla trazione necessaria al volo rettilineo orizzontale uniforme è deducibile dalle relazioni 5.4 e 7.4 che per comodità riportiamo:

20.4

In base ad esse ogni punto del diagramma , all'aumentare della quota subisce uno spostamento orizzontale proporzionale a come mostra la fig. 14.4. Infatti, aumentando la quota, se l'assetto non cambia (), ed restano costanti ed in base alla prima delle 20.4, anche la trazione necessaria resta invariata. Applicando, invece, la seconda della 20.4 a due quote diverse () si ha:

21.4

Per l'assetto costante (), come nel caso precedente, dividendo tra loro le 21.4 si ottiene:

22.4

In base alla 22.4, con l'aumento della quota la velocità cresce proporzionalmente alla diminuzione della densità relativa, come indica la:

23.4

ed il punto A si sposterà in A' orizzontalmente, come detto precedentemente.

Fig. 14.4 Variazione della trazione necessaria in funzione della quota.

Ogni punto del diagramma , fig. 4.4, caratteristico di un determinato assetto, ha coordinate:

24.4

Mantenendo costante l'assetto ed applicando le 24.4 a due quote diverse () si ottiene:

25.4

Dividendo tra loro le potenze e le velocità espresse dalle 25.4 e 26.4 si perviene alle equazioni:

27.4

secondo le quali sia la potenza necessaria che la velocità necessaria, al crescere della quota, aumentano del fattore . Preso, ad esempio, un punto H, fig. 15.4, sulla curva della potenza relativa alla quota determiniamo il punto H', corrispondente dell’assetto di H, sulla curva della potenza relativa ad una quota maggiore (). In base alle 27.4 sia le ascisse che le ordinate dei due punti (H e H') devono stare tra loro nel rapporto . Infatti, i due triangoli OHK e OH'K' sono simili (3° criterio) ed i punti di una curva qualsiasi corrispondente alla quota z , si ottengono da quelli della curva mediante una trasformazione omotetica di rapporto . In particolare rimane costante la direzione della retta OE di trazione minima ma l'assetto che gli corrisponde () si sposta verso valori sempre più elevati di velocità al crescere della quota, in accordo con le 20.4.