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Generalità

Tra gli infiniti moti di cui un velivolo può essere animato, una gran parte è annoverata nella famiglia dei moti longitudinale-simmetrici.

Un moto si definisce longitudinale-simmetrico se il vettore velocità è costantemente contenuto nel piano di simmetria.

Possono far parte di questa categoria il moto librato, il moto rettilineo, sia su traiettoria orizzontale che inclinata, la richiamata, ecc. Ci proponiamo in questo capitolo di ricavare le equazioni generali del moto longitudinale-simmetrico, da cui è possibile dedurre quelle delle varie situazioni di volo summenzionate imponendo particolari condizioni. Nel moto longitudinale-simmetrico affinché la traiettoria sia costantemente contenuta nel piano di simmetria X-Z, è necessario che delle tre componenti della velocità (u,v,w), quella normale al piano di simmetria sia sempre nulla. Per la stessa ragione, delle tre componenti della velocità angolare (p,q,r) due devono essere nulle.

Equazioni del moto longitudinale-simmetrico

In base alla fig.1.2 si può affermare che, nel moto longitudinale-simmetrico, deve essere costantemente:

v = 0 , p = 0, r = 0

Fig. 1.2 Rappresentazione del piano di simmetria ed indicazione dei versi positivi delle componenti di velocità, forze, momenti e rotazioni.

Affinché ciò possa verificarsi, durante tutto il moto, deve risultare:

Poiché tra le forze presenti vi è il peso, costantemente diretto secondo la verticale, la condizione posta può essere realizzata solo se il piano di simmetria è e si mantiene verticale durante tutto il moto. Nel caso considerato, le sei equazioni di equilibrio dinamico 6.1 si riducono a tre, tante quanti sono i parametri necessari per individuare la posizione istantanea dell'aeromobile, in quanto il suo moto è piano. Esse sono:

1.2

Conveniamo, come solitamente avviene nella letteratura aeronautica, di indicare con le componenti della forza risultante lungo gli assi corpo; le componenti del momento risultante lungo gli stessi assi. Con tale assunzione le equazioni 1.2 diventano:

2.2

Non considereremo, d'ora in avanti, le grandezze vettoriali come tali, in quanto è noto il verso, ma opereremo esclusivamente con i relativi moduli. Esplicitiamo le quantità che compaiono nelle 2.2. Analizziamo un elemento infinitesimo di massa dm, posto nella terna di assi corpo, che si muova di moto longitudinale-simmetrico, fig. 2.2.

Fig. 2.2 Rappresentazione delle componenti istantanee della velocità angolare q.

L'elemento oltre ad essere animato da e possiede anche una velocità di rotazione intorno al punto dell'asse , in generale dipendenti dal tempo. Poiché la rotazione istantanea intorno a può considerarsi somma delle rotazioni istantanee intorno ad e rispettivamente, le componenti risultanti della velocità della particella risulteranno:

Ricaviamo le accelerazioni e derivando le espressioni delle velocità e :

Sostituendo al termine l'espressione precedentemente trovata si ottiene:

Analogamente:

Utilizzando e appena ricavate, si ottiene:

Sostituendo nelle equazioni 2.2 ad le relative espressioni, si ha:

Sviluppando e semplificando:

Ricordando che per terna baricentrica, come nel caso di terna corpo, i momenti statici rispetto agli assi e sono nulli ed indicando con i momenti d'inerzia rispetto agli assi corrispondenti, la relazione precedente diventa:

Con analogo procedimento si perviene a:

In conclusione, le equazioni del moto longitudinale-simmetrico 2.2 diventano:

3.2

Queste equazioni descrivono il moto longitudinale-simmetrico rispetto agli assi corpo. Per lo studio di tale moto è, però, più conveniente riferirsi alla terna vento coincidente, in questo caso, con gli assi di stabilità. Trasformiamo quindi, le equazioni 3.2 nelle analoghe riferite a detta terna. Ipotizzando che la direzione di riferimento delle incidenze sia proprio l'asse corpo X, in modo da considerare come incidenza a l'angolo tra esso e l'asse vento, avremo:

per le forze, fig. 3.2:

Fig. 3.2 Trasformazione delle forze dalla terna vento alla terna corpo.

per la velocità, fig. 4.2:

Fig. 4.2 Trasformazione della velocità dalla terna vento alla terna corpo.

Le derivate delle velocità e , rispetto al tempo, sono:

Sostituendo nelle equazioni 3.2 le espressioni appena ricavate per le forze e le velocità, si ottiene:

Queste identità trigonometriche, dovendo essere soddisfatte per qualsiasi valore di a , dovranno avere uguali i coefficienti di e . Quindi, imponendo questa condizione:

4.2

La terza equazione delle 4.2 resta inalterata in quanto l'accelerazione angolare di beccheggio è la stessa qualunque sia la terna di riferimento.

Natura delle forze agenti sul velivolo

Le forze esterne applicate agli aeromobili a sostentazione dinamica, trascurando la spinta di Archimede in quanto irrilevante rispetto alle altre, per la loro natura, possono essere così distinte:

     Forze gravitazionali;
      Forze aerodinamiche, dovute al moto relativo dell'aeromobile rispetto all'aria;
      Forze propulsive;
    Forze giroscopiche.

Le prime danno come risultante il peso del velivolo. Le forze del secondo gruppo dipendono dalla velocità relativa fra l'aeromobile ed il mezzo, quindi da u, v, w, p, q, r e dalle loro derivate, cioè dalle accelerazioni. Le forze di propulsione sono dipendenti dalle caratteristiche del propulsore, a loro volta dipendenti dallo stato di moto relativo dell'aeromobile, e quindi del propulsore, rispetto al mezzo; inoltre esse, quanto più intimo diviene l'accoppiamento tra velivolo e propulsore, tanto più influenzano le forze aerodinamiche del gruppo precedente che agiscono sulle superfici del velivolo. La concezione moderna del velivolo, ideato come sistema aerodinamico unitario comprendente in unica sintesi velivolo, motore e propulsore, rende sempre più difficile la considerazione delle forze di propulsione separatamente dalle forze aerodinamiche. Le forze giroscopiche sono quelle provocate dalle masse rotanti, ad esempio l'elica o il rotore del turboreattore, che influenzano le caratteristiche del moto vario dell'aeromobile e che dovranno essere equilibrate per non turbare la simmetria longitudinale del moto. Infatti, fig. 5.2, se una massa è dotata di velocità di rotazione (w) intorno ad un asse e viene costretta a ruotare intorno ad un altro asse ad esso ortogonale (), inevitabilmente ruota anche rispetto ad un terzo asse () ortogonale al piano formato dai primi due.

Fig. 5.2 Rappresentazione dello effetto giroscopico.

Se le forze giroscopiche agenti sul velivolo, non vengono equilibrate è facilmente intuibile come la traiettoria dell'aeromobile esca dal piano di simmetria e quindi il volo non sia più longitudinale-simmetrico. Generalmente nel caso di monomotori tali forze vengono equilibrate con le superfici di governo, mentre per i plurimotori si ricorre alla controrotazione dei propulsori simmetrici. In quest'ultimo caso l'azione giroscopica di uno dei propulsori viene annullata da quella del propulsore ad esso simmetrico, avente senso di rotazione contrario al primo e quindi momento giroscopico uguale ed opposto. Talvolta esigenze economiche possono dettare altre soluzioni, ferma restante l'esigenza di annullare le forze ed i momenti giroscopici. Noi supporremmo d’ora in poi, in accordo con quanto detto, che le forze giroscopiche siano nulle.

Espletiamo i termini , , e delle equazioni 4.2.

Allo scopo di distinguere i diversi gruppi di forze esterne, supponiamo che il velivolo descriva una traiettoria curvilinea in salita (cabrata) e siano e i valori istantanei dell'angolo di rampa e di beccheggio rispettivamente. Indichiamo inoltre con l'angolo che la direzione della spinta forma con l'asse corpo.

Fig. 6.2 Rappresentazione delle forze agenti sul velivolo.

Dalla fig. 6.2 si ricava che le componenti, secondo gli assi vento e , delle forze agenti , sono:

per il peso:

per le forze aerodinamiche:

per le forze propulsive:

Assumendo come polo il baricentro del velivolo, il momento risultante rispetto ad esso è uguale alla somma di quello dovuto alla forza propulsiva () e quello dovuto alle forze aerodinamiche (). E’ nullo quello giroscopico, perché per ipotesi sono state considerate nulle le relative azioni, e quello gravitazionale, in quanto il peso è sempre applicato nel baricentro. Se, inoltre, consideriamo che, indicando con r il raggio istantaneo di curvatura della traiettoria, fig. 7.2, si ha:

Fig. 7.2 Rappresentazione dello spazio elementare percorso sulla traiettoria.

Tenendo conto che , in quanto angoli compresi tra rette ortogonali, si ha che:

e quindi:

Osservando la fig. 6.2 si nota che:

Ricordando le espressioni trovate, per le forze e le velocità, le 4.2 diventano:

5.2

Queste equazioni, in cui gli angoli e le velocità sono in generale funzione del tempo, integrate, cioè risolte, consentono la determinazione della traiettoria e delle caratteristiche del moto longitudinale-simmetrico. Qualora si consideri , angolo di calettamento del propulsore, variabile nel tempo, con le equazioni 5.2 è possibile studiare il moto longitudinale-simmetrico con propulsore orientabile, che interessa il caso del convertiplano. Per i velivoli convenzionali invece, la direzione della spinta è rigidamente fissa, pertanto d'ora in avanti considereremo costante nel tempo.

Dalle equazioni 5.2, imponendo condizioni particolari sia alla velocità che alla traiettoria, possono ottenersi quelle relative a specifici moti del velivolo. Supponendo che l'angolo di rampa sia invariabile nel tempo, le 5.2 descrivono il moto rettilineo su traiettoria orizzontale ed inclinata: salita (g > 0), discesa (g < 0). Se oltre alla rampa anche la velocità resta costante, le 5.2 diventano le equazioni del: