Equazioni del moto

Generalità

Un velivolo in volo nello spazio, supposto rigido (indeformabile) ed a comandi bloccati (superfici di governo non libere di muoversi intorno al proprio asse di cerniera, ma fisse in una determinata posizione), è caratterizzato da sei gradi di libertà; per definirne univocamente il moto, quindi, occorrono sei equazioni di equilibrio dinamico indipendenti. Di queste equazioni tre devono esprimere gli equilibri alle traslazioni lungo i tre assi di una terna di riferimento e le altre gli equilibri alle rotazioni intorno agli stessi assi. Le terne cui ci si può riferire, possono essere di due tipi: levogire o sinistrorse oppure destrogire o destrorse, di cui diamo le definizioni.

Una terna X, Y, Z, si definisce levogira se, fig. 1.1, disponendosi ciclicamente lungo ciascun asse con i piedi nell’origine e la testa secondo il suo verso positivo, per descrivere l’angolo minore, si vede X ruotare in senso antiorario per sovrapporsi a Y; Y ruotare in senso antiorario per sovrapporsi a Z; Z ruotare in senso antiorario per sovrapporsi a X.

Fig. 1.1 Rappresentazione di una terna di riferimento levogira.

Fig. 2.1 Rappresentazione di una terna di riferimento destrogira.

Viceversa, se gli assi X-Y-Z si susseguono ciclicamente in senso orario, fig. 2.1, la terna è destrogira. L’adozione dell’uno o dell’altro tipo di terna comporta scrivere delle equazioni del moto che, pur descrivendo lo stesso fenomeno, risultano formalmente, cioè solo dall’aspetto, diverse. Nel corso di queste note si farà sempre riferimento a terne levogire o sinistrorse. Nello studio della Meccanica del volo, le terne adoperate possono essere mobili o fisse. Le terne mobili hanno l’origine nel baricentro del velivolo e si muovono, quindi, con esso, mentre quelle fisse sono solidali alla terra che è ritenuta immobile nello spazio e nel tempo. Tra le infinite terne mobili se ne considerano solo tre, denominate: terna corpo, terna vento e terna di stabilità. La scelta, tra queste, della terna a cui riferire il moto, è legata alla natura del particolare problema da esaminare; in alcuni casi può risultare opportuno riferirsi ad assi solidali al velivolo (terna corpo), mentre in altri è preferibile assumere una terna connessa con la traiettoria (terna vento o terna di stabilità). Qualunque sia la scelta fatta, per l’individuazione della posizione della terna mobile nel tempo, è necessario riferirla ad una terna fissa o ritenuta tale, dalla quale è osservato il suo moto.

Il riferimento fisso è rappresentato dalla terna terra Xe, Ye, Ze, fig. 4.1, i cui assi sono definiti nel modo seguente:

	Xe, asse terra longitudinale, contenuto in un piano tangente alla superficie media della terra;
	Ye, asse terra trasversale, contenuto in un piano tangente alla superficie media della terra e perpendicolare all'asse terra longitudinale, positivo verso la destra di un osservatore che guarda lungo la direzione positiva dell'asse Xe;
	Ze, asse terra verticale, perpendicolare ai due precedenti e positivo verso il basso in modo da completare la terna levogira Xe-Ye-Ze.

La terna vento Xw, Yw, Zw , fig. 5.1, ha gli assi così definiti:

	Xw, asse vento longitudinale, diretto secondo la direzione della velocità V del velivolo, positivo nel senso del moto;
	Zw, asse vento verticale, individuato dall'intersezione del piano verticale contenete V e del piano normale alla traiettoria , positivo verso il basso;

Yw asse vento trasversale, perpendicolare al piano Xw-Zw e tale da completare la terna trirettangola levogira Xw-Yw-Zw.

Da notare che, mentre l'asse vento verticale Zw in genere non è tale ma determina con Xw un piano verticale contenente V, l'asse vento trasversale Yw, per essere normale al piano Xw-Zw, è sempre orizzontale ed è positivo verso la destra di un osservatore che guarda nella direzione del verso positivo di Xw.

La terna corpo X, Y, Z ,fig. 3.1, ha gli assi definiti nel modo seguente:

X, asse corpo longitudinale, contenuto nel piano di simmetria del velivolo ed orientato positivamente verso la prua;

Z, asse corpo verticale, contenuto nel piano di simmetria del velivolo, perpendicolare a X e diretto positivamente nel senso testa-piedi;

Y, asse corpo trasversale, perpendicolare al piano X-Z ed orientato positivamente verso la destra del pilota in modo da dar luogo ad una terna trirettangola levogira.

Il piano individuato dagli assi X e Z è detto piano di simmetria del velivolo.

Per passare dagli assi vento agli assi corpo e viceversa, è opportuno introdurre un terzo sistema di riferimento mobile trirettangolo levogiro, utilizzato in particolare nello studio della stabilità dinamica dei velivoli, denominato terna di stabilità Xs, Ys, Zs, fig. 3.1, i cui assi sono così definiti:

Xs, asse di stabilità longitudinale, dato dalla direzione della proiezione ortogonale della velocità V sul piano di simmetria del velivolo e diretto positivamente nel senso del moto;

Zs, asse di stabilità verticale, normale ad Xs, contenuto nel piano di simmetria del velivolo e positivo nel senso testa-piedi del pilota;

Ys, asse di stabilità trasversale, normale al piano Xs-Zs e positivo verso la destra del pilota.

In base a tale definizione ne consegue che, per essere Xs definito dalla proiezione ortogonale di Xw sul piano di simmetria X-Z del velivolo, l'asse Zs oltre ad essere normale ad Xs risulta normale anche ad Xw ed è quindi contenuto nel piano normale ad Xw che contiene anche Zw. Qualunque sia la terna di riferimento saranno assunti positivi gli spostamenti, le velocità lineari e le forze se diretti secondo i versi positivi degli assi, le rotazioni, le velocità angolari ed i momenti se antiorari ad un osservatore disposto lungo ciascuno degli assi con i piedi nell'origine e la testa secondo il verso positivo degli stessi, fig. 6.1.

Angoli caratteristici

La posizione angolare degli assi vento rispetto agli assi terra è determinata attraverso la conoscenza dei due angoli seguenti, fig. 5.1:

	d angolo di virata o di rotta, definito come l’angolo che il piano Xw-Zw forma, in un generico istante, col piano Xe-Ze, positivo se la virata è destra;
	g angolo di volta o di rampa, inteso come l’angolo che l'asse vento longitudinale Xw forma con il piano orizzontale Xe-Ye, positivo nel caso della salita.

L’angolo n compreso fra Zs e Zw è detto di sbandamento. Esso è misurato nel piano normale a Xw ed è assunto positivo se la semiala destra risulta più bassa della sinistra; con tale convenzione lo sbandamento risulta positivo se la virata è destra.

L'angolo b , fig. 3.1, compreso fra gli assi di stabilità longitudinale Xs e vento Xw, è denominato angolo di derapata ed è assunto positivo se il vento relativo - batte sul lato destro del pilota.

L'angolo di incidenza a è quello, contenuto nel piano di simmetria del velivolo, che l'asse longitudinale di stabilità Xs forma con una direzione solidale al velivolo, positivo se tale da luogo ad una portanza diretta nel senso piedi-testa del pilota.

L'orientamento della terna di stabilità, rispetto agli assi terra, è definito dagli angoli ( Figg. 3.1-4.1-5.1):

d g b n

mentre quello degli assi velivolo rispetto alla terna di stabilità richiede la conoscenza dell'angolo di incidenza a .

Fig. 3.1 Rappresentazione degli angoli di incidenza e di derapata . = Direzione di riferimento delle incidenze.

A volte riesce più conveniente riferire l'orientamento degli assi corpo direttamente agli assi terra per mezzo dei tre angoli, fig. 4.1:

y Q F

In tal caso la direzione della velocità rispetto al velivolo è definita dagli angoli d’incidenza a e di derapata . L'angolo di imbardata y è l'angolo compreso fra il piano verticale Xe-Ze ed il piano verticale che contiene l'asse velivolo longitudinale X ed è assunto positivo se è ruotato verso destra rispetto a Xe-Ze. L'angolo di beccheggio Q è definito come l'angolo che l'asse longitudinale X forma con il piano orizzontale Xe-Ye, positivo verso l'alto. L'angolo di rollio F è l'angolo di cui risulta ruotato, intorno a X, l'asse velivolo Y a partire dalla posizione orizzontale, positivo se l'ala destra è più bassa rispetto alla sinistra.

Fig. 4.1 Rappresentazione degli angoli di rollio , di beccheggio e di imbardata .

Fig. 5.1 Rappresentazione degli angoli di volta , di sbandamento e di virata o rotta .

Fig. 6.1 Rappresentazione delle rotazioni positive intorno agli assi di riferimento.

Equazioni generali del moto vario di un corpo rigido

Quanto è detto in questo paragrafo ha carattere del tutto generale. Le equazioni a cui si perviene sono valide per qualsiasi corpo, purché indeformabile, quindi, anche per il velivolo.

Indichiamo con M la massa totale, supposta costante, del corpo che si muove di moto vario nello spazio tridimensionale X –Y- Z , fig. 7.1.

Fig. 7.1 Rappresentazione della forza e accelerazione agenti sulla massa elementare e delle loro componenti lungo gli assi coordinati.

Con riferimento alla terna scelta, indichiamo con , , le tre componenti istantanee della velocità lineare del corpo, con , , le tre componenti istantanee della sua velocità angolare e con _x,_y ,_z le componenti dell'accelerazione . Con i metodi della dinamica si possono determinare le componenti della velocità e dell'accelerazione di ciascun punto del corpo in funzione dei valori di u, v, w, p, q, r e delle loro derivate prime.

Se la massa M, come detto, si conserva costante durante il moto, per l'equilibrio dinamico del corpo la risultante delle forze ad esso applicate deve essere uguale, vettorialmente, al prodotto della massa per la sua accelerazione. In generale, poiché, il corpo possiede sei gradi di libertà, occorreranno sei equazioni indipendenti per descriverne univocamente il moto: tre esprimeranno l'equilibrio alla traslazione lungo gli assi coordinati e le rimanenti, l'equilibrio alla rotazione intorno agli stessi. Proponiamoci di determinare tali equazioni.

Equilibrio alla traslazione

Supponiamo il corpo di massa M suddiviso in infinite masse elementari dm.

Un generico elemento di massa dm_i, sottoposto ad un’accelerazione , per il 2° principio della dinamica è sede della forza elementare:

Essa può essere scomposta in tre forze dirette secondo gli assi, dando luogo alle componenti:

che in base alle componenti dell'accelerazione possono essere espresse dalle 1.1.

1.1

Estendendo l'equilibrio dinamico a tutto il corpo, su di esso agirà la forza:

Anche questa forza può decomporsi secondo gli assi, ammettendo le componenti:

Queste forze, in base alle 1.1, possono considerarsi le risultanti agenti lungo gli assi, espresse dalle:

Da queste equazioni, poiché l'accelerazione, pur potendo essere funzione del tempo, non dipende dalla particella presa in esame, in quanto il corpo è considerato rigido, si ottiene:

2.1

In queste equazioni la massa totale è stata espressa in funzione del peso totale W. Le 2.1 rappresentano le equazioni di equilibrio dinamico alla traslazione lungo i tre assi X, Y, Z ed esprimono, lungo ogni asse ed in ogni istante, l'uguaglianza tra le forze direttamente applicate, esterne ed interne, e le forze d'inerzia. Poiché il corpo, come più volte detto, è rigido, il sistema di forze interne è equivalente a zero, perciò tutte le forze applicate al corpo si riducono alle sole forze esterne.

Equilibrio alla rotazione

Facendo riferimento sempre al generico elemento di massa dm_i del corpo rigido, fig. 8.1:

Fig. 8.1 Rappresentazione del momento delle forze agenti sulla massa elementare .

proiettiamo il suo baricentro sul piano X-Y ed indichiamo con , , le rispettive coordinate.

Indicando con il braccio di rispetto ad O, il momento della forza rispetto all'origine, può essere scomposto nelle tre componenti:

La forza totale agente sul corpo, ammetterà un momento a sua volta decomponibile in:

3.1

Ricordando che la componente, secondo un asse, del momento di una forza è uguale alla somma dei momenti delle componenti della forza rispetto allo stesso asse, per l’asse X si ha:

Analogamente, secondo gli assi Y e Z:

In base alle relazioni precedenti, le 3.1 diventano:

4.1

Sviluppiamo separatamente queste equazioni, sostituendo a , e le espressioni 1.1.

In questa relazione le espressioni e rappresentano i momenti statici del corpo rispetto ai piani X-Z e X-Y rispettivamente; essi sono anche esprimibili come prodotto della massa totale del corpo per la distanza del suo baricentro dal piano di riferimento:

In definitiva:

Con analogo procedimento:

Il sistema d’equazioni 4.1 diventa:

5.1

Queste equazioni rappresentano la terna d’equazioni d’equilibrio dinamico alla rotazione. In conclusione, le sei equazioni, idonee a descrivere univocamente il moto vario del corpo nello spazio X, Y, Z, sono le seguenti:

6.1

Al primo membro compaiono le forze ed i momenti delle forze esterne applicate al corpo, al secondo le accelerazioni, che sono funzioni del punto considerato e dello stato di moto del corpo, cioè del tempo.

Quelle ora scritte sono equazioni differenziali di non agevole calcolo, ma sono suscettibili di notevoli semplificazioni che rendono possibile la loro soluzione e quindi la determinazione del moto del corpo.